淄川第一中学2016届高三下学期第一次月考

数学（理科）试题（2016.03）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．

1．设
为虚数单位，复数
等于

A．
B．
C．
D．

2．设全集
，集合
，则

A．
B．
C．
D．

3．在“魅力中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打

出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所

剩数据的平均数和方差分别为

A．
和
　　 B．
和
C．
和
　　 D．
和

4．“
”是“数列
为等差数列”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是
，则

正视图中的
的值是

A．
B．
C．
D．

6．已知双曲线
的一条渐近线平行于直线
，双曲线的一个焦点在直线
上，则双曲线方程为

A．
B．
C．
D．

7．设
是不同的直线，
是不同的平面，下列命题中正确的是

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

8．函数
(
为自然对数的底数)的图象可能是

9．对于函数
，下列说法正确的是

A．函数图象关于点
对称 B．函数图象关于直线
对称

C．将它的图象向左平移
个单位，得到
的图象

D．将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的
倍，得到
的图象

10．已知点
是
的外心，
是三个单位向量，且
，如图所示，
的顶点
分别在
轴的非负半轴和
轴的非负半轴上移动，
是坐标原点，则
的最大值为

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．已知函数
，若
，

则
;

12．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ;

13．设
，则二项式
展开

式中的第
项的系数为 ;

14．若目标函数
在约束条件
下当且仅当在点
处取得最小值，则实数
的取值范围是 ;

15．若
是一个集合，
是一个以
的某些子集为元素的集合，且满足：①
属于
，空集
属于
；②
中任意多个元素的并集属于
；③
中任意多个元素的交集属于
.

则称
是集合
上的一个拓扑．已知集合
，对于下面给出的四个集合
:

①
; ②
;

③
; ④
.

其中是集合
上的一个拓扑的集合
的所有序号是 .

三、解答题：本大题共6小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

16. （本小题满分12分） 设
的内角
所对的边分别为
，已知
，
.

（Ⅰ）求角
； （Ⅱ）若
，求
的面积.

17．（本小题满分12分）某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请
名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学院邀请的学生数如下表所示：

学院

机械工程学院

海洋学院

医学院

经济学院



人数











（Ⅰ）从这
名学生中随机选出
名学生发言，求这
名学生中任意两个均不属于同一学院的概率；

（Ⅱ）从这
名学生中随机选出
名学生发言，设来自医学院的学生数为
，求随机变量
的概率分布列和数学期望.

18．（本小题满分12分）如图，在四棱柱
中，侧棱
底面
，底面
是直角梯形，
，
，
，
，
为
中点.

（Ⅰ）证明：
平面
；

（Ⅱ）若
，求平面
和平面
所成角（锐角）的余弦值.

19．（本小题满分12分）已知数列
是等差数列，
为
的前
项和，且
，
；数列
对任意
，总有
成立.

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；（Ⅱ）记
，求数列
的前
项和
.

20．（本小题满分13分）已知椭圆
与直线
相交于
、
两不同点，且直线
与圆
相切于点
(
为坐标原点).

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）设
，求实数
的取值范围.

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
，
.

（Ⅰ）若函数
的图象在原点处的切线
与函数
的图象相切，求实数
的值；

（Ⅱ）若
在
上单调递减，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）若对于
，总存在
，且
满

，其中
为自然对数的底数，求实数
的取值范围.

一、选择题： D A B C D A C A B C

二、填空题：11.
12.
13.
14．
15．②④

三、解答题：16. 解：（Ⅰ）



………2分

………………………………5分

，
………………………………………………………6分

（Ⅱ）由
，
，
，得
……………………………7分

由
得
，从而
， …………………………………………9分

故
…………………10分

所以
的面积为
. ……………………………12分

17．解：（Ⅰ）从
名学生随机选出
名的方法数为
，选出
人中任意两个均不属于同一学院的方法数为
……………………4分

所以
…………………6分

（Ⅱ）
可能的取值为

…………10分

所以
的分布列为

























……………………………………12分

18．（本小题满分12分）

证明：（Ⅰ）连结
交
于
，因为
为四棱柱，

所以四边形
为平行四边形，所以
为
的中点，

又
为
中点，所以
为
的中位线，

从而
又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
． …………………………5分

（Ⅱ）因为
底面
，
面
，
面
，

所以
又
，所以
两两垂直. ……………6分

如图，以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系. 设
，则
，
，
，
，
，
.

从而
，
.

因为
，所以
，解得
. ……………………8分

所以
，
.

设
是平面
的一个法向量，则
即

令
，则
. 又
，
.

设
是平面
的一个法向量，则
即

令
，则
.

平面
和平面
所成角（锐角）的余弦值
. ……………………………12分

19．解：（Ⅰ）设
的公差为
，则

解得
，所以
所以