高三文科数学阶段性检测 2016.4.12

一、选择题：本大题共10小题：每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．

1.已知复数
，则“
”是“
为纯虚数”的

A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件

2.设集合
，
，则
等于

A．
B．
C．
D．

3.若
是第二象限角，且
，则

A．
B．
C．
D．

4.右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为

A．11B．11.5C．12D．12.5

5.已知函数
，则
等于

A．
B．
C．
D．

6.若某程序框图如右图所示，当输入
时，则该程序运行后输出的结果是

A．6B．5C．4D．3

7.已知平面上三点
、
、
满足
，
，
，则


的值等于

A．
B．
C．
D．

8.某产品的广告费用
与销售额
的统计数据如下表，根据下表可得回归方程
中的
，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为

A．112.1万元B．113.1万元C．111.9万元D．113.9万元

9.已知双曲线
的左焦点与抛物线
的焦点重合，斜率为1的直线
与双曲线交于
，
两点，若
中点坐标为
，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

10.定义在实数集
上的函数
的图象是连续不断的，若对任意实数
，存在实数
使得
恒成立，则称
是一个“关于
的函数”，给出下列“关于
的函数”的结论：

①
是常数函数中唯一一个“关于
的函数”；②“关于
的函数”至少有一个零点；③
是一个“关于
的函数”．

其中正确结论的个数是

A．0B．1C．2D．3

二、填空题：本大题共有5个小题，每小题5分，共25分．把正确答案填在答题卡的相应位置．

11.一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的表面积为 ．

12.已知定义在
上的函数
满足
．若方程
有2015个实数根，则这2015个实数根之和为 ．

13.已知直线
过圆
的圆心，且与直线
垂直，则直线
的方程是 ．

14.给出下列等式：
，
，
，…，依次可得第
个等式：
．

15.某运输公司承担了每天至少搬运280吨水泥的任务，已知该公司有6辆
型卡车和8辆
型卡车．又已知
型卡车每天每辆的运载量为30吨，成本费为0.9千元；
型卡车每天每辆的运载量为40吨，成本费为1千元，则该公司所花的最小成本费是 ．

三、解答题：本大题共6个小题，共75分．解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．

16.（本小题满分12分）

以工厂生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种样式均有500
和700
两种型号，某天的产量如右表（单位：个）：按分层抽样的方法在这个月生产的杯子中抽取100个，其中有甲样式杯子25个．

（1）求
的值；

（2）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个500
杯子的概率．

17.（本小题满分12分）

设△
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，且
．

（1）求角
的大小；

（2）若
，求△
的周长的取值范围．

18. （本小题满分12分）

如图，已知
⊥平面
，
，

，且
是
的中点，
．

（1）求证：
平面
；

（2）求证：平面
⊥平面
；

（3）求此多面体的体积．

19.（本小题满分12分）

已知
是一个公差大于0的等差数列，且满足
，
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
和数列
满足等式：
（
），求数列
的前
项和
．

20.（本小题满分13分）

已知函数
，
．

（1）若函数
的图象在
处的切线与直线
垂直，求实数
的值；

（2）求
的单调区间；

（3）当
时，若对于任意
，
，
恒成立，求实数
的取值范围．

21.（本小题满分14分）

已知点
，椭圆
：
的离心率为
，
是椭圆的焦点，直线
的斜率为
，
为坐标原点．

（1）求椭圆
的方程；

（2）设过点
的直线
与椭圆
相较于
，
两点，当△
的面积最大时，求
的方程．

高三文科数学阶段性检测参考答案及评分标准

一、选择题

A B D C D A C C D B

二、填空题

11.
12. 0 13.
14.
15. 7千元

三、解答题

16.解: (1).设该厂本月生产的乙样式的杯子为n个,在丙样式的杯子中抽取x个，由题意得,

,所以x=40. …………2分

则100－40－25＝35，所以，

n=7000，

故z＝2500 …………………………6分

(2) 设所抽样本中有m个500ml杯子,

因为用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为5的样本,

所以
,解得m=2

也就是抽取了2个500ml杯子,3个700ml杯子, …………………………8分

分别记作S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取2个的所有基本事件为

(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)

共10个,其中至少有1个500ml杯子的基本事件有7个基本事件:

(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2个,

至少有1个500ml杯子的概率为
. …………………………12分

17.解：（1）
，由正弦定理得：
, …2分

又
,

，
， ………………4分

，
. …………………………5分

（2）由正弦定理得：
， …………7分

周长

， …………9分

, …………11分

故
的周长的取值范围为
. …………12分

18.解：（1）取CE中点P，连结FP、BP，

∵F为CD的中点，∴
，且FP=
又
，且AB=

∴
，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴
． ………2分

又∵AF
平面BCE，BP
平面BCE，

∴
平面BCE ………………………4分

（2）∵
，所以△ACD为正三角形，∴AF⊥CD

∵AB⊥平面ACD，DE//AB

∴DE⊥平面ACD 又AF
平面ACD

∴DE⊥AF ………………………6分

又AF⊥CD，CD∩DE=D

∴AF⊥平面CDE

又BP∥AF ∴BP⊥平面CDE

又∵BP
平面BCE

∴平面BCE⊥平面CDE ………………………8分

(3)此多面体是一个以C为顶点，以四边形ABED为底边的四棱锥，

， ………………………10分

，

等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高

………………………12分

19．解：（1）设等差数列
的公差为
，

由
，得
①

由
得
② …………………2分

易得
，所以
…………………4分

（2）令
，则有
，

，由（1）得
，故
，即
，

而
，所以可得
． …………………8分

于是

=

=
．…12分

20.解：（1）∵

∴
， …………………2分

∵
的图象在
处的切线与直线
垂直，

∴
，可得
. …………………4分

（2）由（1）
，

令
，可得
，或
，

所以当
时，
在R上恒成立，函数
在R上单调递增； …………………6分

当
时，
，在
上
，
单调递增，

在
上
，
单调递减，在
上
，
单调递增；

当
时，
，在
上
，
单调递增，

在
上
，
单调递减，在
上
，
单调递增；………………8分

（3）当
时，
，由（2）可知，
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增；所以
在
处取得极小值
，而
，所以
在
上取得最小值
，原命题等价于不等式
在
恒成立， …………………10分

即：