长春市普通高中2016届高三质量监测（四） 数学文科

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）

1. 已知集合
，
，则
中元素的个数为

A.
　　 B.
C.
D.

2. 已知复数
满足
，则

A.
B.
C.
D.

3. 设
，则“
”是“
”的

A.充分不必要条件　B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知直线
与平面
，下列命题中错误的是

A.若
，则
B. 若
，则

C.若
，则
D. 若
，则

5. 执行如图所示的程序框图，若输出
的值为
，则判断框内可填入的条件是

A.
　　B.
C.
　D.

6. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为

A.
　　 B.
C.
　 D.

7. 函数
的部分图象如图所示，则

A.
　　 B.
C.
D.

8. 已知等比数列
单调递减，满足
，则数列
的公比

A.
　　 B.
C.
　 D.

函数
的大致图像为

10. 如图，从高为
的气球
上测量待建规划铁桥
的长，如果测得桥头
的俯角是
，桥头
的俯角是
，则桥
的长为

A.　
B.
C.　
D.

11. 棱长为
的正四面体
中，
为棱
上一点（不含
两点），点
到平面
和平面
的距离分别为
，则
的最小值为

A.　
　 B.
C.　
D.

12.
为双曲线
右支上一点，
、
分别为双曲线的左顶点和右焦点，且
为等边三角形，则双曲线
的离心率为

A.4 　B.
C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题—24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).

13.已知
，
，则
与
的夹角为_______

14. 等差数列
的前
项和为
，已知
，
，则使
取最小值的
等于 .

15. 已知圆
的圆心在直线
上，且经过原点和点
，则圆
的方程为 ___________.

16. 下列说法中正确的有：___________.（将你认为正确的命题序号全部填在横线上）

①电影院调查观众的某一指标，通知“每排（每排人数相等）座位号为14的观众留下来座谈”是系统抽样；

②推理过程“因为指数函数
是增函数，而
是指数函数，所以
是增函数”中，小前提是错误的；

③对命题“正三角形与其内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体与其内切球切于各面中心；

④在判断两个变量
与
是否相关时，选择了
个不同的模型，它们的相关指数
分别为：模型
为
，模型
为
，模型
为
.其中拟合效果最好的是模型
；

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.（本小题满分12分）

已知函数
.

（1）利用“五点法”列表，并画出
在
上的图象；

（2）
分别是锐角
中角
的对边.若
，
，求
面积的取值范围.

18. （本小题满分12分）

某便携式灯具厂的检验室，要检查该厂生产的某一批次产品在使用时的安全性。检查人员从中随机抽取5件，通过对其加以不同的电压（单位：伏特）测得相应电流（单位：安培），数据见下表：

（1）试估计如对该批次某件产品加以110伏电压，产生的电流是多少？

（2）依据其行业标准，该类产品电阻在[18,22]内为合格品，电阻的计算方法是电压除以电流．现从上述５件产品中随机抽２件，求这两件产品中至少有一件是合格品的概率．

（附：回归方程：
，

参考数据：）

19. （本小题满分12分）

在四棱锥
中，
，
，
平面
，
，
，
为
中点.

（1）证明：
平面
；

（2）若三棱锥
的体积为
，求
到平面
的距离．

20．（本小题满分12分）

已知椭圆
的左、右焦点分别为
，过点
的直线
交椭圆于
两点，
的最小值为3，且△
的周长为8.

（1）求椭圆的方程；

（2）当直线
不垂直于
轴时，点
关于
轴的对称点为
，证明直线
恒过定点，并求此定点坐标.

21.（本小题满分12分）

已知函数
.

（1）若曲线
在点
处与直线
相切，求
的值；

（2）若
恒成立，求
的取值范围.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲.

如图，
是圆
的直径，弦
、
的延长线相交于点
，
垂直
的延长线于点
.

（1）求证：
是
的角平分线；

(2) 求证：
.

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程.

在极坐标系中，点
的坐标是
，曲线
的方程为
.以极点为坐标原点，极轴为
轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为
的直线
经过点
.

（1）写出直线
的参数方程和曲线
的直角坐标方程；

（2）若直线
和曲线
相交于两点
，求
的值.

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲.

已知函数
，不等式
对
恒成立.

(1)求
的取值范围；

(2) 记
的最大值为
，若正实数
满足
，求证：
.

长春市普通高中2016届高三质量监测（四）

数学(文科)参考答案及评分标准

一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)

1. C 2. B 3. A 4. D 5. C 6. C

7. B 8. B 9. C 10. A 11. D 12. A

简答与提示：

【试题解析】C 由题意可知
，所以
. 故选C.

【试题解析】B 复数
,则
. 故选B.

【试题解析】A “
”等价于“
”，“
”等价于“
”，故选A.

【试题解析】D D选项，若
，则
或
，所以D错误. 故选D.

【试题解析】C 由程序框图可知，要输出
，需
时条件成立，当
时条件不成立，从而
. 故选C.

【试题解析】C　由祖暅原理可知，该不规则几何体的体积与已知三视图几何体体积相等，图示几何体是一个正方体去掉一个半圆柱，从而其体积为
. 故选C.

【试题解析】B　由题意可知
，进而
，从而
. 故选B.

【试题解析】B　由
，且
单调递减，可知
，
，可求得
（
舍掉）. 故选B.

【试题解析】C 由题意，定义域为
，排除A；当
时，
，排除B；当
时，
，单调递增，排除D. 故选C.

【试题解析】A 设气球在地面上的射影点为
，在
中，
，在
中，
. 故选A.

【试题解析】D 连结
，由正四面体棱长为1，有
，由于
，有
，由
可得
，所以
. 故选D.

【试题解析】A 由题意可知，设双曲线左焦点为
，由
为等边三角形，所以
，从而
，在
中，由余弦定理得，
，解得
或
（舍）. 故选A.

二、填空题(本