2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数 学（理工类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第I卷

注意事项：

·1、每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分

参考公式：

如果事件 A，B 互斥，那么·如果事件 A，B 相互独立，

P(A∪B)=P(A)+P(B)．P(AB)=P(A) P(B)．

柱体的体积公式V 柱体=Sh锥体的体积公式V = V=1/3Sh

其中 S 表示柱体的底面积其中 S 表示锥体的底面积，

h 表示柱体的高．h 表示锥体的高．

第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知集合
则
=

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）设变量x，y满足约束条件
则目标函数
的最小值为

（A）
（B）6 （C）10 （D）17

（3）在△ABC中，若
,BC=3，
,则AC=

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（4）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为

（A）2 （B）4 （C）6 （D）8

（5）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n?1+a2n<0”的

（A）充要条件（B）充分而不必要条件

（C）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件

（6）已知双曲线
（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）已知函数f（x）=
（a>0,且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程│f（x）│=2
x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是

（A）（0，
] （B）[
，
] （C）[
，
]
{
}（D）[
，
）
{
}

第II卷

注意事项：

1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

2、本卷共12小题，共计110分.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

（9）已知
，i是虚数单位，若(1+i)(1-bi）=a，则
的值为_______.

（10）
的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)

（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.

（第11题图）

（12）如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.

(13)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间（-
，0）上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)＞f（-
），则a的取值范围是______.

(14)设抛物线
，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（
p,0），AF与BC相交于点E. 若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为
，则p的值为_________.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(15) 已知函数f(x)=4tanxsin(
)cos(
)-
.

(Ⅰ)求f(x)的定义域与最小正周期；

（Ⅱ）讨论f(x)在区间[
]上的单调性.

（16）（本小题满分13分）

某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.

（I）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；

（II）设
为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量
的分布列和数学期望.

（17）（本小题满分13分）

如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.

（I）求证：EG∥平面ADF；

（II）求二面角O-EF-C的正弦值；

（III）设H为线段AF上的点，且AH=
HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

（20）（本小题满分14分）

设函数f(x)=（x-1）3-ax-b,x∈R，其中a,b∈R。

(I)求f(x)的单调区间；

(II)若f(x)存在极点x0，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，求证：x1+2x0=3；

(III)设a＞0,函数g(x)=∣f(x)∣,求证：g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.

参考版解析

1．D

【解析】
，
，∴
，选D．

2．B

【解析】

可行域如上图所示，则当取点
时，
取得最小值为6

3．A

【解析】设

由余弦定理得：

或
（舍），∴
，选A．

4．B

【解析】第一次：
，

第二次：
，

第三次：
，
，满足
，输出
.

5．C

【解析】设数列的首项为
，则
，即
，

故
是
的必要不充分条件．

6．D

【解析】

渐近线

设
，则
，

∴
，∴
，∴
，∴

∴

7．【解析】B

∴

，选B．

8．C

【解析】

由
在
上递减，则

又由
在R上单调递减，则：

由图像可知，在
上，
有且仅有一个解，

故在
上，
同样有且仅有一个解，

当
即
时，联立
，

则
，解得：
或1（舍），

当
时，由图像可知，符合条件.

综上：∴

选C．

9．

【解析】
，
，∴

，

10．

【解析】
，∴系数为-56

11．

【解析】

12．

【解析】连接OD，可得，
，

，
，即
，

13．

【解析】由
是偶函数可知，
单调递增；
单调递减

又
，

可得，
即

14．

【解析】x、y满足函数
；

，

可得：

易知
，
，故

，∴

15．

【解析】

．

(Ⅰ)定义域
,

（Ⅱ）
，
，设
，

∵
在
时单调递减，在
时单调递增

由
解得
，由
解得

∴函数
在
上单调增，在
上单调减

16．

【解析】（Ⅰ）设事件
：选2人参加义工活动，次数之和为4

（Ⅱ）随机变量
可能取值 0，1，2

0

1

2















17．

【解析】（Ⅰ）证明：找到
中点
，连结
，

∵矩形
,∴

∵
、
是中点，∴
是
的中位线

∴
且

∵
是正方形
中心

∴

∴
且

∴四边形
是平行四边形

∴

∵
面

∴
面

（Ⅱ）
正弦值

解：如图所示建立空间直角坐标系

，
，
，

设面
的法向量

得：

∴

∵
面
，

∴面
的法向量

（Ⅲ）∵

∴

设

∴

得：

18．

【解析】⑴

为定值．

∴
为等差数列

⑵


（*）

由已知

将
代入（*）式得

∴


，得证

19．

【解析】

（Ⅰ）

∴

解之得

∴椭圆方程为：

（Ⅱ）由已知，设
斜率为

，方程为

设

，
，

，
成立

由韦达定理
，∴
，

令
，得

∵
，∴

即

∴
，∴

∴
或
．

20.

【解析】（1）

①
，单调递增；

②
，
在
单调递增，在
单调递减，在
单调递增

（2）由
得

∴

（3）欲证
在区间
上的最大值不小于
，只需证在区间
上存在
，

使得
即可

①当
时，
在
上单调递减

递减，成立

当
时，

∵

∴

若
时，
，成立

当
时，
，成立

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