2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知
在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）已知集合
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）已知向量
，且
，则m=

（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8

（4）圆
的圆心到直线
的距离为1，则a=

（A）
（B）
（C）
（D）2

（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A）24 （B）18 （C）12 （D）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π

（7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移个单位长度，则评议后图象的对称轴为

（A）x=– (k∈Z) （B）x=+ (k∈Z) （C）x=– (k∈Z) （D）x=+ (k∈Z)

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=

（A）7 （B）12 （C）17 （D）34

（9）若cos(–α)= ，则sin 2α=

（A） （B） （C）– （D）–

（10）从区间
随机抽取2n个数
,
，…，
，
，
，…，
，构成n个数对
，
，…，
，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
的近似值为

（A）
（B）
（C）
（D）

（11）已知F1，F2是双曲线E
的左，右焦点，点M在E上，M F1与
轴垂直，sin
,则E的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）2

（12）已知函数
满足
，若函数
与
图像的交点为
则

（A）0 （B）m （C）2m （D）4m

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos A=
，cos C=
，a=1，则b= .

(14)α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

（3）如果α∥β，m
α，那么m∥β. ???

（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 。

（16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+2）的切线，则b= 。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题满分12分）

为等差数列
的前n项和，且
记
，其中
表示不超过x的最大整数，如
.

（I）求
；

（II）求数列
的前1 000项和.

18.（本题满分12分）

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数

0

1

2

3

4


5



保费

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a



设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数

0

1

2

3

4


5



概率

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0. 05



（I）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（II）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

（III）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.

19.（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E,F分别在AD,CD上，AE=CF=
，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△
的位置，
.

???

（I）证明：
平面ABCD；

（II）求二面角
的正弦值.

20. （本小题满分12分）

已知椭圆E:
的焦点在
轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（I）当t=4，
时，求△AMN的面积；

（II）当
时，求k的取值范围.

（21）（本小题满分12分）

(I)讨论函数
的单调性，并证明当
>0时，

(II)证明：当
时，函数
有最小值.设g（x）的最小值为
，求函数
的值域.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：集合证明选讲

如图，在正方形ABCD，E,G分别在边DA,DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.

(I) 证明：B,C,E,F四点共圆；

(II)若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积. ??????

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.

（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（II）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A、B两点，∣AB∣=，求l的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)= ∣x-∣+∣x+∣，M为不等式f(x) ＜2的解集.

（I）求M；

（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。

参考版解析

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知
在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

【解析】A

∴
，
，∴
，故选A．

（2）已知集合
，
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

【解析】C

，

∴
，∴
，

故选C．

（3）已知向量
，且
，则m=

（A）
（B）
（C）6 （D）8

【解析】D

，

∵
，∴

解得
，

故选D．

（4）圆
的圆心到直线
的距离为1，则a=

（A）
（B）
（C）
（D）2

【解析】A

圆
化为标准方程为：
，

故圆心为
，
，解得
，

故选A．

（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A）24 （B）18 （C）12 （D）9

【解析】B

有
种走法，
有
种走法，由乘法原理知，共
种走法

故选B．

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π

【解析】C

几何体是圆锥与圆柱的组合体，

设圆柱底面圆半径为
，周长为
，圆锥母线长为
，圆柱高为
．

由图得
，
，由勾股定理得：
，

，

故选C．

（7）若将函数y=2sin 2x的图像向左平移
个单位长度，则平移后图象的对称轴为

（A）
（B）

（C）
（D）

【解析】B

平移后图像表达式为
，

令
，得对称轴方程：
，

故选B．

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的
，
，依次输入的a为2，2，5，则输出的

（A）7 （B）12 （C）17 （D）34

【解析】C

第一次运算：
，

第二次运算：
，

第三次运算：
，

故选C．

（9）若
，则
=

（A）
（B）
（C）
（D）

【解析】D

∵
，
，

故选D．

（10）从区间
随机抽取2n个数
,
，…，
，
，
，…，
，构成n个数对
，
，…，
，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
的近似值为

（A）
（B）
（C）
（D）

【解析】C

由题意得：
在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在

如图所示的阴影中

由几何概型概率计算公式知
，∴
，故选C．

（11）已知
，
是双曲线E：
的左，右焦点，点M在E上，
与
轴垂直，sin
,则E的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）2

【解析】A

离心率
，由正弦定理得
．

故选A．

（12）已知函数
满足
，若函数
与
图像的交点

为
，
，?，
，则
（ ）

（A）0 （B）m （C）2m （D）4m

【解析】B

由
得
关于
对称，

而
也关于
对称，

∴对于每一组对称点

，

∴
，故选B．

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．

（13）
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，
，
，

则
．

【解析】

∵
，
，

，
，

，

由正弦定理得：
解得
．

（14）
，
是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题：

①如果
，
，
，那么
．

②如果
，
，那么
．

③如果
，
，那么
．

④如果
，
，那么m与
所成的角和n与
所成的角相等．

【解析】②③④

（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是

【解析】

由题意得：丙不拿（2，3），

若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，

若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足，

故甲（1，3），

（16）若直线
是曲线
的切线，也是曲线
的切线，
．

【解析】

的切线为：
（设切点横坐标为
）

的切线为：

∴

解得

∴
．

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）（本小题满分12分）

为等差数列
的前n项和，且
，
．记
，其中
表示不超过x的最大整数，如
，
．

（Ⅰ）求
，
，
；

（Ⅱ）求数列
的前
项和．

【解析】⑴设
的公差为
，
，

∴
，∴
，∴
．

∴
，
，
．

⑵记
的前
项和为
，则

．

当
时，
；

当
时，
；

当
时，
；

当
时，
．

∴
．

（18）（本小题满分12分）

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数

0

1

2

3

4





保 费

0.85a

a

1.25a

1.5a

1.75a

2a



设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

一年内出险次数

0

1

2

3

4





概 率

0.30

0.15

0.20

0.20

0.10

0.05



（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出
的概率；

（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．

【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件
，

．

⑵设续保人保费比基本保费高出
为事件
，

．

⑶解：设本年度所交保费为随机变量
．































平均保费

，

∴平均保费与基本保费比值为
．

（19）（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，
，
，点E，F分别在AD，CD上，
，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△
的位置
.

（I）证明：
平面ABCD；

（II）求二面角
的正弦值.

【解析】⑴证明：∵
，

∴
，

∴
．

∵四边形
为菱形，

∴
，

∴
，

∴
，

∴
．

∵
，

∴
；

又
，
，

∴
，

∴
，

∴
，

∴
，

∴
．

又∵
，

∴
面
．

⑵建立如图坐标系
．

，
，
，
，

，
，
，

设面
法向量
，

由
得
，取
，

∴
．

同理可得面
的法向量
，

∴
，

∴
．

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆E:
的焦点在
轴上，A是E的左顶点，斜率为
的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（I）当
，
时，求△AMN的面积；

（II）当
时，求k的取值范围.

【解析】 ⑴当
时，椭圆E的方程为
，A点坐标为
，

则直线AM的方程为
．

联立
并整理得，

解得
或
，则

因为
，所以

因为
，
，

所以
，整理得
，

无实根，所以
．

所以
的面积为
．

⑵直线AM的方程为
，

联立
并整理得，

解得
或
，

所以

所以

因为

所以
，整理得，
．

因为椭圆E的焦点在x轴，所以
，即
，整理得

解得
．

（21）（本小题满分12分）

(I)讨论函数
的单调性，并证明当
时，

(II)证明：当
时，函数
有最小值.设
的最小值为
，求函数
的值域.

【解析】⑴证明：

∵当

时，

∴
在
上单调递增

∴
时，

∴

⑵

由(1)知，当
时，
的值域为
，只有一解．

使得
，

当
时
，
单调减；当
时
，
单调增

记
，在
时，
，∴
单调递增

∴
．

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.

(I) 证明：B，C，G，F四点共圆；

(II)若
，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.

【解析】（Ⅰ）证明：∵

∴

∴

∵
，

∴

∴

∴

∴

∴
．

∴B，C，G，F四点共圆．

（Ⅱ）∵E为AD中点，
，

∴
，

∴在
中，
，

连接
，
，

∴
．

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xOy中，圆C的方程为
．

（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（II）直线l的参数方程是
（t为参数），l与C交于A、B两点，
，求l的斜率．

【解析】解：⑴整理圆的方程得
，

由
可知圆
的极坐标方程为
．

⑵记直线的斜率为
，则直线的方程为
，

由垂径定理及点到直线距离公式知：
，

即
，整理得
，则
．

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数
，M为不等式
的解集.

（I）求M；

（II）证明：当a，
时，
．

【解析】解：⑴当
时，
，若
；

当
时，
恒成立；

当
时，
，若
，
．

综上可得，
．

⑵当
时，有
，

即
，

则
，

则
，

即
，

证毕．

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