2016年普通高等学校招生全国考试

数学（文）（北京卷）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）复数

（A）i（B）1+i（C）
（D）

（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为

（A）8

（B）9

（C）27

（D）36

（4）下列函数中，在区间
上为减函数的是

（A）
（B）
（C）
（D）

（5）圆（x+1）2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为

（A）1 （B）2 （C）
（D）2

（6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

（7）已知A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x?y的最大值为

（A）?1 （B）3 （C）7 （D）8

（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.

学生序号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



立定跳远（单位：米）

1.96

1.92

1.82

1.80

1.78

1.76

1.74

1.72

1.68

1.60



30秒跳绳（单位：次）

63

a

75

60

63

72

70

a?1

b

65



在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则

（A）2号学生进入30秒跳绳决赛（B）5号学生进入30秒跳绳决赛

（C）8号学生进入30秒跳绳决赛（D）9号学生进入30秒跳绳决赛

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）已知向量
，则a与b夹角的大小为_________.

（10）函数
的最大值为_________.

（11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.

(12) 已知双曲线
（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为（
,0），则a=_______；b=_____________.

(13)在△ABC中，
，a=
c，则
=_________.

(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店

①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；

②这三天售出的商品最少有_______种.

三、解答题（共6题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

（15）（本小题13分）

已知{an}是等差数列，{bn}是等差数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4.

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和.

（16）（本小题13分）

已知函数f（x）=2sin ωxcosωx+cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间.

（17）（本小题13分）

某市民用水拟实行阶梯水价，每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：

（I）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？

（II）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.

（18）（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，

（I）求证：
；

（II）求证：
；

(III)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得
?说明理由.

（19）（本小题14分）

已知椭圆C：
过点A（2,0），B（0,1）两点.

（I）求椭圆C的方程及离心率；

（II）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.

（20）（本小题13分）

设函数

（I）求曲线
在点
处的切线方程；

（II）设
，若函数
有三个不同零点，求c的取值范围；

（III）求证：
是
有三个不同零点的必要而不充分条件.

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