2016年普通高等学校招生全国统一考试试题

文科数学

一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1. 已知集合

，则

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】D

【解析】由
得，
，所以
，所以
，故选D.

2. 设复数z满足
，则
=

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】C

【解析】由
得，
，故选C.

3. 函数
的部分图像如图所示，则

（A）

（B）

（C）

（D）

【答案】A

4. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】A

【解析】因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为
，所以正方体的外接球的半径为
，所以球面的表面积为
，故选A.

5. 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=
（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=

（A）
（B）1 （C）
（D）2

【答案】D

【解析】
，又因为曲线
与
交于点
，
轴，所以
，所以
，选D.

6. 圆x2+y2?2x?8y+13=0的圆心到直线ax+y?1=0的距离为1，则a=

（A）?
（B）?
（C）
（D）2

【答案】A

【解析】圆心为
，半径
，所以
，解得
，故选A.

7. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π

【答案】C

【解析】因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为
，故选C.

8. 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯 ，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为

（A）
（B）
（C）
（D）

【答案】B

【解析】至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为
，故选B.

9. 中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a为2，2，5，则输出的s=

（A）7

（B）12

（C）17

（D）34

【答案】C

【解析】第一次运算，a=2，s=2，n=2，k=1，不满足k>n;

第二次运算，a=2，s=
，k=2，不满足k>n;

第三次运算，a=5，s=
，k=3，满足k>n，

输出s=17，故选C．

10. 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是

（A）y=x （B）y=lgx （C）y=2x （D）

【答案】D

【解析】
，定义域与值域均为
，只有D满足，故选D．

11. 函数
的最大值为

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

【答案】B

【解析】因为
，而
，所以当
时，取最大值5，选B.

12. 已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数 y=|x2-2x-3| 与 y=f(x) 图像的交点为（x1,y1），(x2,y2)，…，（xm,ym），则

(A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m

【答案】B

【解析】因为
都关于
对称，所以它们交点也关于
对称，当
为偶数时，其和为
，当
为奇数时，其和为
，因此选B.

二．填空题：共4小题，每小题5分.

13. 已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.

【答案】

【解析】因为a∥b，所以
，解得
．

14. 若x，y满足约束条件
，则z=x-2y的最小值为__________.

【答案】

15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，
，a=1，则b=____________.

【答案】

【解析】因为
，且
为三角形内角，所以
，
，又因为
，所以
.

16. 有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.

【答案】
和

【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)

等差数列{
}中，

（I）求{
}的通项公式；

(II)设
=[
]，求数列{
}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2

【试题分析】（I）先设
的首项和公差，再利用已知条件可得
和
，进而可得
的通项公式；（II）根据
的通项公式的特点，采用分组求和法，即可得数列
的前
项和．

18． (本小题满分12分)

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A)的估计值；

(II)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”.求P(B)的估计值；

（III）求续保人本年度的平均保费估计值.

【试题分析】（I）由已知可得续保人本年度的保费不高于基本保费的频数，进而可得
的估计值；（II）由已知可得续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％的频数，进而可得
的估计值；（III）计算出险次数的频率，进而可得续保人本年度的平均保费估计值．

19．（本小题满分12分）

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将
沿EF折到
的位置.

（I）证明：
；

(II)若
,求五棱锥
体积.

【试题分析】（I）先证
，
，再证
平面
，即可证
；（II）先证
，进而可证
平面
，再计算菱形
和
的面积，进而可得五棱锥
的体积．

20．（本小题满分12分）

已知函数
.

（I）当
时，求曲线
在
处的切线方程；

(II)若当
时，
，求
的取值范围.

21．（本小题满分12分）

已知A是椭圆E：
的左顶点，斜率为
的直线交E与A，M两点，点N在E上，
.

（I）当
时，求
的面积

(II) 当
时，证明：
.

【试题分析】（I）设点
的坐标，由已知条件可得点
的坐标，进而可得
的面积．

请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F.

（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；

（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.

【试题分析】（I）先证
，再证
，进而可证
，
，
，
四点共圆；（II）先证
，再计算
的面积，进而可得四边形BCGF的面积．

解析：（I）在正方形
中，
，所以

因为
，所以
，所以

所以

所以

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C的方程为
.

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

（Ⅱ）直线l的参数方程是
（t为参数），l与C交于A，B两点，
,求l的斜率.

【试题分析】（I）利用
，
可得C的极坐标方程；（II）先将直线
的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得
的斜率．

解析：（I）由
得

，

故
的极坐标方程为

（II）由
（
为参数）得
，即

圆心
，半径

圆心
到直线
的距离

即
，解得
，所以
的斜率为
．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
，M为不等式
的解集.

（Ⅰ）求M；

（Ⅱ）证明：当a，b
时，
.

当
时，
，所以

当
时，
，解得
，所以

所以

（II）

，

，

，

即

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