2016年云南省蒙自市一中考前最后一练（副题）

理科数学 命题人 朱东海

一、选择题（每小题5分，本题满分60分）

1. 设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，
＝{2,4}，则N＝（ ）

A．{1,2,3} B．{1,3,5} C．{1,4,5} D．{2,3,4}

2. 已知
为虚数单位，
，若
为纯虚数，则复数
的模等于（ ）

A．
　 B．
C．
D．

3. 某工厂对一批新产品的长度（单位：
）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. 将函数
的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得函数
图象的一个对称中心可以是A.
B.
C.
D.

5. 函数
是
上的单调递减函数，则实数
的取值范围是（ ）

A.
B.

C.
D.

6. 已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示,则该几何体的体积为( )

A.
B.
C.
D.

7. 已知半径为5的球O被互相垂直的两个平面所截，得到两圆的公共弦长
为4，若其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为（ ）

A．
B．
C．
D．

8. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输出的S为
，则判断框中填写的内容可以是( )

A.
B.
C.
D.

9. 平面四边形ABCD中，AB=AD+CD=1,
,将其沿对角线BD折成四面体
,使平面
平面BCD，若四面体
的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是
，
，动点
从
点出发沿着圆弧按
的路线运动（其中
五点共线），记点
运动的路程为
，设
,
与
的函数关系为
，则
的大致图象是（ ）

A. B.

C. D.

11. 设双曲线
的左、右焦点分别为
，离心率为
，过
的直线与双曲线的右支交于
两点，若
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

12. 已知函数
，则方程
恰有两个不同的实根时，实数
的取值范围是（注：
为自然对数的底数）（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每小题5分，本题满分20分）

13. 已知菱形
边长为2，
，点
满足
，
．若
，则
的值为__________．

14. 已知点
满足条件
，若
的最大值为8，则实数= .

15. 已知
的展开式中
的系数是-35，则
.

16. 函数
(
)的单调递增区间是__________．

三、解答题（本题满分70分）

17. （本题满分12分）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式； (2)若
，求数列{an}的前n项和Sn.

18.（本题满分12分）

几何题

代数题

总计



男同学

22

8

30



女同学

8

12

20



总计

30

20

50



心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学 （男30女20）， 给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5—7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6—8分钟，现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率．（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、 乙两女生被抽到的人数为X， 求X的分布列及数学期望E（X） ．附表及公式

P（K2＞k）

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



K

2.072

2.706

3.84

5.024

6.635

7.879

10.83





19. (本小题满分12分)如图，正方形
所在平面与等腰三角形
所在平面相交
于

平面
.

(1)求证：
平面
；(2)设
是线段
上一点，当直线
与平面
所成角的正弦值为
时，试确定点
的位置.

20. （本小题满分12分）已知椭圆C：
的离心率为
，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线
相切.

（1）求椭圆C的标准方程;（2）已知点A,B为动直线
与椭圆C的两个交点,问:在
轴上是否存在定点E,使得
为定值?若存在,试求出点
的坐标和定值;若不存在,请说明理由.

21. （本小题满分12分）设
，函数
．(Ⅰ)求
的单调递增区间；(Ⅱ)设
问
是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；

(Ⅲ)设
是函数
图象上任意不同的两点，线段
的中点为
直线
的斜率为
．证明：
．

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，并将所选题号下的“ο”涂黑. 如果多做，按所做的第一题计分. 满分10分

22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，在
中，
是
的角平分线，
的外接圆交
于点
，
.（1）求证：
；（2）当
时，求
的长.

23.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，以
为极点，
轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
.(
为参数)(1)写出直线
与曲线
的直角坐标方程；(2)过点
且
平行
于直线
的
直线与曲线
交于
两点，若
，求点
轨迹的直角坐标方程.

24.选修4-5：不等式选讲

已知函数

（1）解不等式
；

（2）对任意
，都有

成立，求实数
的取值范围.

2016年云南省蒙自市一中考前最后一练（副题）

理科数学

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

D

C

C

D

C

D

C

A

A

C

B



二、填空题

13.
14. -6 15. 1 16.

三、解答题

17. 解：(1)在已知式
两边同除以
可得

, 即
………3分

因此数列
是以1为首项，2为公差的等差数列，故其通项公式为
………6分

(2)由（1）
及
得
，………7分

所以数列{an}的前n项和Sn为

………9分

两式相减得
………11分

故
………12分

18. 解：(1)由表中数据得
的观测值
……2分

所以根据统计有
的把握认为视觉和空间能力与性别有关.）………3分

（2）设甲、乙解答一道几何题所用的时间分别为
分钟，则基本事件满足的区域为

（如图所示）

设事件A为“乙比甲先解答完此道题”则满足区域
………5分

……7分

(3)由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有
种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有
种；恰有一人被抽到有
种；两人都被抽到有
种

可能取值为
，
， ………8分

， ………9分

………10分

的分布列为： ………11分



1

















. ………12分

19. 解：(1)因为
平面
，
平面
，所以
.

在正方形
中，
且
，所以
平面
，

又因为
∥
，所以
平面
.………………4分

(2)由(
1)得平面

平面
，取
中点
，取
中点
，连接
.因为
，所以
，所以
平面
.以
分别为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设
，则
.设
，则
，
，又因为
三点共线，设
,所以
，所以

.设
与平面
所成角为
,因为平面
的一法向量
，所以

，解得
或
（舍），所以点
为线段
上靠近
的三等分点. ………………12分

20. 解： (1)由
得
,即
① ………1分

又以原点O为圆心,椭圆C的长轴长为半径的圆为
且与直线
相切,

所以
代入①得c=2, ………2分

所以
.所以椭圆C的标准方程为
………4分

(2)由
得
………6分

设A(x1,y1)、B(x2,y2),所以
………8分

根据题意,假设x轴上存在定点E(m,0),

使得