河北省“五个一名校联盟”2016届高三教学质量监测

数学试卷（理科）

（满分：150分，测试时间：120分钟）

第Ⅰ卷（60分）

选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

如图，已知
是实数集，集合

，则阴影部分表示的集合是（ ）

[0,1] B．[0,1) C．(0,1) D．(0,1]

2.函数
的图象按向量
平移得到
的图象，则
可以是（ ）

A．
B．
C．
D．

3.已知命题
：
；命题
：
，则下列命题为真命题的是（ ）

A.
B.
C.
D.

4.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为（ ）

A.232 B.252 C.472 D.484

5.向量
满足
,则
与
的夹角为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

6.如图程序框图输出的结果是S＝720，则判断框内应填的是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.在二项式
的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，

则展开式的中间项的系数为（ ）

A.-960 B.960 C.1120 D.1680

8.已知等差数列{
}的前
项和为
，且
，则过点
和
的直线的斜率是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

9.函数
，则不等式
的解集为（ ）

A.
B.
C.
D.

10.已知点
的坐标
过点
的直线
与圆
相交于
、
两点，则
的最小值是（ ）

A．
B．4 C．
D．2

11.某四面体的三视图如图，则其四个面中最大的面积是 （ ）

A.
B．
C.
D．

12.若

,则
最小值为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷（90分）

填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

设复数
满足
（其中
为虚数单位），则
的模为_____.

14.在棱长为1的正方体
中，
分别是
的中点，点
在其表面上运动，则总能使
与
垂直的点
所构成的轨迹的周长等于 ．

15.古希腊的数学家研究过各种多边形数.记第
个
边形数为
（
，以下列出了部分
边形数中第
个数的表达式：

三角形数

四边形数

五边形数

六边形数

……

可以推测
的表达式，由此计算
的值为________．

16.设椭圆
的右顶点为
、右焦点为
为椭圆
上在第二象限内的点，直线
交
于点
，若直线
平分线段
，则
的离心率是 ．

解答题：

（本小题满分12分）已知锐角
中内角
、
、
的对边分别为
、
、
，
，且
．

（1）求角
的值； （2）设函数
，
图象上相邻两最高点间的距离为
，求
的取值范围．

18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
是梯形，
底面
，其中
与
交于点
是
边上的点，且
，已知

（1）求平面
与平面
所成锐二面角的正切值；

（2）若
是
上一点，且
平面
， 求
的值．

19.（本小题满分12分）为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查,结果如下:

睡眠时间(小时)

[4,5）

[5,6）

[6,7）

[7,8）

[8,9]



女生人数













男生人数













（1）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率;

（2）完成下面2×2列联表,并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？

睡眠时间少于7小时

睡眠时间不少于7小时

合计



男生









女生









合计











（
，其中
）

20.（本小题满分12分）已知椭圆
的右焦点为
且
,设短轴的一个端点为
,原点
到直线
的距离为
，过原点和
轴不重合的直线与椭圆
相交于
两点，且
. (1)求椭圆
的方程；

(2) 是否存在过点
的直线
与椭圆
相交于不同的两点
且使得
成立？若存在，试求出直线
的方程；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分12分）已知函数
．

（1）若
在定义域内恒成立，求
的取值范围；

（2）当
取（1）中的最大值时，求函数
的最小值；

（3）证明不等式
．

请考生从第22、23、24题中任选一题作答，作答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图⊙
过平行四边形
的顶点
,且与
相切,交
的延长线于点
.

(1)求证：
；(2)
是
的三等分点，且
，求
.

（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，圆
的参数方程为
，（
为参数，
）．以
为极点，
轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
．写出圆心的极坐标，并求当
为何值时，圆
上的点到直线
的最大距离为3．

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数
.

（1）求函数
的最小值
；（2）若正实数
满足
，求证：
.

河北省“五个一名校联盟”2016届高三教学质量监测

理科数学答案

选择题：DDCCC BCACB DD

填空题:13.
； 14.
； 15.2490； 16.

三、解答题：

（本小题满分12分）

解析：（1）因为
,由余弦定理知

所以
,又因为
,则由正弦定理得:
，

所以
,又因为
所以
...... 6分

（2）
，

由已知
,则
...... 8分

因为
,
,由于
,所以
，...... 10分

所以
，所以
的取值范围是
..... 12分

（本小题满分12分）

解析:（1）连接
并延长交
的延长线于
，则
是平面
与平面
所成二面角的棱，过
作
垂直
于
，连接
．

∵
平面
，∴
，

又
，
∴
平面
，
平面
，

∵
，
，
面
，
面
∴
，

∴
是平面
与平面
所成锐二面角的平面角…（3分）

∵
，

∴
，又
，∴
∴
，

所以平面
与平面
所成锐二面角的正切值为
…（6分）

（2）连接
并延长交
于
，连接

∵
平面
，
面
，面
面
∴

在
中∵
，又
…（9分）

在梯形
中，
，∵
∴
，∴
…（12分）

另解：向量法.

19.（本小题满分12分）

解析：（1） 设事件A=“从睡眠不足6小时的女生中抽出3人，其中恰有一个为“严重睡眠不足”.........1分 . 所以
......6分

(2)

睡眠少于7小时

睡眠不少于7小时

合计



男生

12

8

20



女生

14

6

20



合计

26

14

40



 ......8分

......10分

所以没有
的把握认为“睡眠时间与性别有关” .......12分

20.（本小题满分12分）

解析：（1）由椭圆的对称性知：
,又原点O到直线DF的距离为
，
又

故椭圆方程为
…………4分

（2）当直线
与
轴垂直时不满足条件……5分，故可设直线
的方程为
， 代入椭圆方程得：