河北省“五个一名校联盟”2016届高三教学质量监测

数学试卷（文科）

满分：150分 测试时间：120分钟

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.

1.若集合
，
，则
( )

A.
B.
C.
D.

2.在复平面内与复数
所对应的点关于实轴对称的点为
，则
对应的复数为 ( )

A.
　　 　 B.
　　 　 C.
　　 　 D.

3.设
，则“
”是“
”的 ( )

充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.若双曲线
的一条渐近线经过点
，则此双曲线的离心率为 ( )

A．
B．
C．
D．

5.已知变量
满足约束条件
,则
的最大值( )

A．1 B．3 C．4 D．8

6.如右图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )

A. B. C. D.

7.若直线
与
平行，则
与
间的距离为( )

A．
B．
C．
D．

8.在面积为
的
内部任取一点
，则
面积大于
的概率为 ( )

A．
B．
C．
D．

9.若对任意正实数
，不等式
恒成立，则实数
的最小值为 ( )

A. 1 B.
C.
D.

10.已知数列
满
,则
( )

A．
B．
C．
D．

11.某四面体的三视图如图，则该四面体四个面中最大的面积是( )

A.
B．
C.
D．

12.已知函数
存在实数
使
的图像与
的图像无公共点，则实数
的取值范围为( )

B.
C.
D.

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．

13.某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_________.

14.已知等差数列
中，
，则

15.已知球
的表面积为
，长方体的八个顶点都在球
的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于

16.给定方程：
下列命题中：①该方程没有小于0的实数解； ②该方程有无数个实数解；③该方程在
内有且只有一个实数根； ④若
是方程的实数根，则
正确命题的序号是

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.(本小题满分12分)已知函数

(1)求函数
的最小正周期和最大值；

(2)设
的三内角分别是
,若
,且
,求
的值.

18.(本小题满分12分)某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位（每班学生50人），每班按随机抽样抽取了8名学生的视力数据．其中高三（1）班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：

视力数据

4.0

4.1

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

5.0

5.1

5.2

5.3



人数









2



2



2

1



1







用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值；

(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3、4.4、4.5、4.6、4.8．若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．

(本小题满分12分)如图，在四棱锥
中，底面
为

直角梯形，
,平面
底面
，

为
的中点，

是棱
的中点.

(1)求证：
平面
；

(2)求三棱锥
的体积.

(本小题满分12分)定圆
动圆
过点
且与圆
相切,记圆心
的轨迹为

(1)求轨迹
的方程；

(2)设点
在
上运动，
与
关于原点对称，且
,当
的面积最小时，求直线
的方程.

21.(本小题满分12分)函数

(1)若函数
，求函数
的极值；

(2)若
在
恒成立，求实数
的取值范围.

请考生从第22、23、24题中任选一题作答，多答，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.

22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形
是边长为
的正方形，以
为圆心，
为半径的圆弧与以
为直径的半圆
交于点
,连接
并延长交
于点
．

(1)求证：
是
的中点；

(2)求线段
的长.

23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系,设曲线
参数方程为
(
为参数)，直线
的极坐标方程为
.

(1)写出曲线
的普通方程和直线
的直角坐标方程；

(2)求曲线
上的点到直线
的最大距离，并求出这个点的坐标.

24.(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

设函数

(1)当
时，求不等式
的解集；(2)若
对
恒成立，求
的取值范围.

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文科数学（答案）

选择题：CBADB DBDCC DB

填空题： 13．25 14. 12 15. 50 16．②③④

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．

函数
的最小正周期
，函数
的最大值为1. .........5分

可得
.........7分

，由余弦定理可得：
10分

由正弦定理可得：
.........12分

18.解：（1）高三（1）班学生视力的平均值为
,

故用上述样本数据估计高三（1）班学生视力的平均值为 4.7． .........6分

（2）从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有 15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：

（4.3，4.5）、（4.3，4.6）、（4.3，4.7）、（4.3，4.8）、（4.4，4.6）、（4.4，4.7）、

（4.4，4.8）、（4.5，4.7）、（4.5，4.8），（4.6，4.8），共有10个，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为
12分

证明：（1）连接
，交
于
，连接
，
且
，

即
，
∴四边形
为平行四边形，且
为
中点，又因为点
是棱
的中点，∴
，则
平面
. ....6分

，证明出
⊥平面
,

所以
到平面
的距离为
. .......9分

所以
......12分

20.解：(1)
在圆
内，
圆
内切于圆

,
点
的轨迹
为椭圆，且

轨迹
的方程为
.........4分

①当
为长轴（或短轴）时，此时
. ...5分

②当直线
的斜率存在且不为0时，设直线
方程为
，

联立方程
得

将上式中的
替换为
，得

9分

，

当且仅当
，即