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湖南省东部六校2016届高三联考试题

理科数学

总分：150分 时量：120分钟 考试时间：2015年12月8日

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；每小题只有一个正确答案）

1．已知全集U=R，集合
，集合
，则
（ C ）

A．
B．（1，2] C．
D．

2．已知复数
满足
，则
（ D ）

A．
B．
C．
D．

3．设α为锐角，若cos
＝
，则sin
的值为（ B ）

A．
B．
C．
D．

4．某车间共有6名工人，他们某日加工零件个数的茎叶图如上图所示，其中茎为十位数，叶为个位数,日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．从该车间6名工人中，任取2人，则至少有1名优秀工人的概率为 ( C )

A.
B.
C.
D.

5．已知双曲线
（
，
）的左、右焦点分别为
、
，以
、
为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为
，则此双曲线的方程为 ( C )

A．
B．
C．
D．

6．下左图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率
的程序框图，则图中空白框内应填入（ D ）

A．
B．
C．
D．

7．一个几何体的三视图如上右图，则该几何体的体积为 ( D )

A．
B．
C．
D．

8．若
，命题
直线
与圆
相交；命题
，则
是
的 ( A )

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9．已知
是偶函数，它在
上是减函数，若
，则
的取值范围是（ C ）

A．
B．
C．
D．

10．已知不等式组
表示平面区域
，过区域
中的任意一个点
，作圆
的两条切线且切点分别为
，当
的面积最小时，
的值为（ B ）

A．
B．
C．
D．

11．如上右图所示，已知点
是
的重心，过点
作直线与
两边分别

交于
两点，且
,则
的最小值为（ C ）

A．2 B．
C．
D．

12．设点P在曲线
上，点Q在曲线
上，则|PQ|的最小值为 (　D　)

A．1－ln 2 B.
(1－ln 2) C．
D.
(1＋ln 2)

二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）

13．如果
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中
的系数是 21 ．

14．函数
(
) 的单调递增区间是
.

15．对于问题：“已知关于
的不等式
的解集为
，解关于
的不等式
”，给出如下一种解法：

解：由
的解集为
，得
的解集为
，

即关于
的不等式
的解集为
.

参考上述解法，若关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的解集为_____
_______．

16．已知椭圆
的方程为
，
为椭圆
的左、右顶点，
为椭圆
上不同于
的动点，直线
与直线
分别交于
两点，若
，则过
三点的圆必过
轴上不同于点
的定点，其坐标为
．

三、解答题：（本大题分必做题和选做题两部分，满分70分，解答须写出详细的计算步骤、证明过程）

（一）必做题：

17．（本小题满分12分）

株洲市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登石峰山健身的活动，有N人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为
，
，
，
，
，
，
等七组,其频率分布直方图如下图所示。已知
之间的参加者有8人.

（1）求N和
之间的参加者人数N1；

（2）已知
和
之间各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中都至少有1名数学教师的概率?

（3）组织者从
之间的参加者(其中共有4名女教师，其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为
,求
的分布列和均值.

解：（1）年龄在
之间的概率为0.04
5=0.2所以总人数
，

因为

所以年龄在
之间的志愿者人数为
………4分

（2）记事件B=从年龄在
之间选出的人中至少有2名数学教师

因为年龄在
之间的人数为12，所以

记事件C=从年龄在
之间选出的人中至少有1名数学教师

因为年龄在
之间的人数为8，所以

则 P（A）=
……………………………8分

（3）年龄在
之间的人数为6人，其中女教师4人

的可能取值为1，2,3

;
;

所以分布列为 
均值为
12分

18．（本小题满分12分）

已知
的角
的对边分别为
，其面积
，
，且
；等差数列
中，且
，公差
．数列
的前
项和为
，且
，
．

（1）求数列
、
的通项公式；

（2）设
， 求数列
的前
项和
．

【解析】：（1）
，

又
，

，

从而

故可得：
， ∴
．

∵
， ∴当n=1时，
，

当n≥2时，
，

两式相减， 得

∴数列
为等比数列， ∴
． ………………………6分

（2）
．

=

=
……………………………12分

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面梯形
中，
，平面
平面
，
是等边三角形，已知
，
，且
.

（1）求证：平面
平面
；

（2）求二面角
的余弦值；

（3）试确定
的值，使三棱锥
体积为三棱锥
体积的3倍.

（1）证明：在
中，由于
,

,故
.

又

，

，
，又
，

故平面
平面
……………………………4分

（2）法一、如图建立
空间直角坐标系，
,

，