吉林省实验中学2016高三第二次模拟考试

数学（理）试题

考试时间：120分钟 试卷满分： 150分

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，

第I卷

选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）

1．i是虚数单位，复数＝(　　)

A．2＋4i B． 1＋2i C．－1－2i D．2－i

2．若cosα＝－，α是第三象限的角，则sin(α＋)＝(　　)

A．－ B.  C．－ D. 

3．下列说法中，正确的是(　　)

A．数据5,4,4,3,5,2的众数是4

B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方

C．数据2,3,4,5的标准差是数据4,6,8,10的标准差的一半

D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数

4．在等差数列
中，
，
则
的前5项和
=（ ）

A.7 B.15 C.20 D.25

5．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是( )

6．一质点运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，质点做直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为(　　)

A. 　　　　　B.  C. D.

7．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50,60)元的学生有30人，则n的值为(　　)

A．1000 B．900 C．100 D． 90

8．某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为(　　)

A．k＞3? B．k＞4? C．k＞5? D．k＞6?

9．已知正三棱锥
ABC，点P，A，B，C都在半径为
的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为( )

A．
B．
C．
D．

10．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)

A．2 B．3 C．6 D．8

11．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为

（A）232 (B) 252 (C) 472 (D) 484

12．定义在R上的函数y＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，f′(x)<0，若x1

x1＋x2>3，则有(　　)

A．f(x1)>f(x2) B． f(x1)

第Ⅱ卷

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知单位向量e1，e2的夹角为60°，则|2e1－e2|＝________.

14．设m为实数，若{(x，y)| ?{(x，y)|(x－2)2＋(y－2)2≤8}，则m的取值范围为________．

15．数列
满足
，且
（
），则数列
的前10项和为 .

16. 已知偶函数y＝f(x)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，给出下列判断：①f(5)＝0；②f(x)在[1,2]上是减函数；③f(x)的图象关于直线x＝1对称；④f(x)在x＝0处取得最大值；⑤f(x)没有最小值．其中正确判断的序号是________．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且

（Ⅰ）求A的大小；

（Ⅱ）求
的最大值.

18．（本小题满分12分）

某地宫有三个通道，进入地宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出地宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完地宫为止。令
表示走出地宫所需的时间。

(1)求
的分布列； （2）求
的数学期望。

19. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.

（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.

20．（本小题满分12分）

设椭圆C：
的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,
.

求椭圆C的离心率；

如果|AB|=
，求椭圆C的方程.

21．（本小题满分12分）

设
，曲线
在点
处的切线与直线
垂直.

求
的值；

若
恒成立，求
的取值范围；

求证：
.

请考生在第22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．

（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；

（Ⅱ）若AC=BD，求证：AB=ED．

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2
sinθ．

（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；

（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数

（1）当
时，求不等式
的解集；

（2）若
的解集包含
，求
的取值范围.

参考答案

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

A

C

B

D

A

B

A

C

C

C

A



二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分）

13．  14． (0,1]

15．
16． ①②④

三．解答题

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得

即

由余弦定理得

故
，A=120° ……6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。 ……12分

18．（本小题满分12分）

必须要走到1号门才能走出，
可能的取值为1，3，4，6

，

，
，
……8分

1

3

4

6















分布列为：

……10分

（2）
小时 ……12分

19．（本小题满分12分）

解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，
，

Ｅ是ＣＤ的中点，所以
……6分

所以

而
内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE.

（Ⅱ）过点Ｂ作

由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是
为直线ＰＢ与平面PAE

所成的角，且
.

由
知，
为直线
与平面
所成的角.

由题意，知

因为
所以

由
所以四边形
是平行四边形，故
于是

在
中，
所以

　　　　　　　

于是

又梯形
的面积为
所以四棱锥
的体积为

　　　　　　　　　

解法2：如图（2），以A为坐标原点，
所在直线分别为
建立空间直角坐标系.设
则相关的各点坐标为：

（Ⅰ）易知
因为

所以
而
是平面
内的两条相交直线，所以
……6分

(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，
分别是
，
的法向量，而PB与

所成的角和PB与
所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，
由
故

解得
. ……8分

又梯形ABCD的面积为
，所以四棱锥
的体积为

. ……12分

20．（本小题满分12分）

解：设
，由题意知
＜0，
＞0.

（Ⅰ）直线l的方程为
，其中
.

联立
得

解得

因为
，所以
.

即

得离心率
. ……6分

（Ⅱ）因为
，所以
.

由
得
.所以
，得a=3，
.

椭圆C的方程为
. ……12分

21．（本小题满分12分）

答案：（1）
……3分

即
， ……5分

设
，即

(若
，
，这与题设
矛盾（舍）；

(若
，方程
的判别式
，

当
，即
时，
，
在
单调递减，

，即不等式成立；

当
时，方程
的根

当
单调递增，
，与题设矛盾（舍）；

综上所述，
. ……8分

证明：由（2）知，当
时，
成立，

不妨令
，所以

故

令

累加即得结论。 ……12分

22.（本小题满分10分）

1.证明：（Ⅰ）∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，∵PD为切线，∴∠PDA=∠DBA，

∵∠PGD=∠EGA，

∴∠DBA=∠EGA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，∴∠BDA=∠PFA，

∵AF⊥EP，

∴∠PFA=90°．∴∠BDA=90°，∴AB为圆的直径；……5分

（Ⅱ）连接BC，DC，则∵AB为圆的直径，

∴∠BDA=∠ACB=90°，

在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，

∴Rt△BDA≌Rt△ACB，∴∠DAB=∠CBA，

∵∠