海淀区高三年级第二学期期中练习

数 学 （理科） 2015.11

本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合
，则集合
中元素的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

2．下列函数中为偶函数的是

3．在△ABC中，
的值为

A．1 B．－1 C．
　　D． －

4．数列
的前n项和为
，则
的值为

A．1　　 B．3　　 C．5 　　D．6

5．已知函数
，下列结论错误的是

A．
　　　　 B．函数
的图象关于直线x＝0对称

C．
的最小正周期为
　 D．
的值域为

6．“x＞0 ”是“
”的

A．充分不必要条件 　　B．必要不充分条件

C．充分必要条件 　　　D．既不充分也不必要条件

7．如图，点O为坐标原点，点A（1,1）．若函数
且
）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足

8． 已知函数
函数
．若函数
恰好有2个不同零点，则实数a的取值范围是

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

9．

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a ，b，c．若 c＝4，
则

11．已知等差数列
的公差
，且
．若
＝0 ，则n＝　　　

12．已知向量
，点A（3,0） ，点B为直线y＝2x 上的一个动点．若
，则点B的坐标为　　　　　．

13．已知函数
，若
的图象向左平移
个单位所得的图象与
的图象向右平移
个单位所得的图象重合，则
的最小值为　　　　　

14．对于数列
，都有
为常数）成立，则称数列
具有性质
．

⑴ 若数列
的通项公式为
，且具有性质
，则t的最大值为　　　 ；

⑵ 若数列
的通项公式为
，且具有性质
，则实数a的取值范围是　　　　　

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

已知等比数列
的公比
，其n前项和为

（Ⅰ）求公比q和a5的值；

（Ⅱ）求证：

16．（本小题满分13分）

已知函数．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求函数
的最小正周期和单调递增区间．

17．（本小题满分13分）

如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，

（Ⅰ）求BD的长；

（Ⅱ）求证：

18．（本小题满分13分）

已知函数
，曲线
在点（0,1）处的切线为l

（Ⅰ）若直线l的斜率为－3，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若函数是
区间［－2，a］上的单调函数，求a的取值范围．

19．（本小题满分14分）

已知由整数组成的数列
各项均不为0，其前n项和为 ，且

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）求
的通项公式；

（Ⅲ）若=15时，Sn取得最小值，求a的值．

20．（本小题满分14分）

已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如

对于函数f(x)，若存在
，使得
，则称函数
函数．

（Ⅰ）判断函数
是否是
函数；（只需写出结论）

（Ⅱ）设函数f(x)是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f(x)不是
函数，求T的最小值． ?

（Ⅲ）若函数
是
函数，求a的取值范围．

海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案

数 学 （理科） 2015.11

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1. B 2. B 3. A 4. C 5. D 6. C 7. A 8. D

二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9. 3 10.
11. 5 12.

13.
14. 2；

说明；第10，14题第一空3分，第二空2分

三、解答题: 本大题共6小题，共80分.

15．解：（Ⅰ）

法一：因为
为等比数列， 且
，

所以
，所以
，

因为
，所以
.

因为
，所以
，即
---------------------------3分

所以
. --------------------------6分

法二：因为
为等比数列，且
，

所以
，所以
，所以
,

因为
，所以
，即
---------------------------3分

所以
. --------------------------6分（Ⅱ）法一：

因为
，所以
,　　　　　 　　　　 　　　--------------------------８分

　　　因为
,　　　　　　 　　　　　　　　 　--------------------------10分

　　　所以
,

　　　因为
，所以
. --------------------------13分

法二：因为
，所以
, 　　　　　　　 　　　 　　--------------------------８分

　　　所以
,　　　　　　　　　　　　　　　　　--------------------------10分

　　　所以
，所以
.　　　　　　　　　　 　　--------------------------13分

法三：因为
，所以
, 　　　　　　　　　　　　--------------------------８分

　　　所以
.　　　　　　　　　　　　　　　　　--------------------------10分

　　　要证
，只需
， 只需

上式显然成立，得证. 　--------------------------13分

16.解：

（Ⅰ）因为
,

所以
,

. --------------------------4分

（Ⅱ）因为
,

所以

--------------------------7分

, --------------------------9分

所以周期
. --------------------------11分

令
， --------------------------12分

解得
，
，

所以
的单调递增区间为

. --------------------------13分

法二：因为
,

所以
-------------------7分

--------------------------9分

所以周期
. --------------------------11分

令
， --------------------------12分

解得
，
,

所以
的单调递增区间为

. --------------------------13分

17．解：

（Ⅰ）法一：

在
中，因为
，
,

所以
, --------------------------3分

根据正弦定理，有
, --------------------------6分

代入

解得
. --------------------------7分

法二：作
于
.

因为
，所以在
中，
. --------------------------3分

在
中，因为
，
，

所以
, --------------------------6分

所以
. --------------------------7分

（Ⅱ）法一：

在
中，根据余弦定理
, --------------------------10分

代入
，得
，

,所以
. --------------------------12分

所以
，而在四边形
中

所以
. --------------------------13分

法二：在
中，
所以
，

， 所以
. --------------------------8分

在
中，
所以
,

， 所以
. --------------------------9分

所以
，

--------------------------11分

，

--------------------------12分

即
, 所以
. --------------------------13分

18．解

（Ⅰ）因为
，所以曲线
经过点
,

又
, --------------------------2分

所以
, --------------------------3分

所以
.

当
变化时，
，
的变化情况如下表:

















0



0









极大值



极小值





 --------------------------5分

所以函数
的单调递增区间为
，
,

单调递减区间为
. --------------------------7分

（Ⅱ）

因为函数
在区间
上单调,

当函数
在区间
上单调递减时，
对
成立，

即
对
成立，

根据二次函数的性质，只需要
， 解得
.

又
，所以
. --------------------------9分

当函数
在区间
上单调递增时，
对
成立，

只要
在
上的最小值大于等于0即可，

因为函数
的对称轴为
，

当
时，
在
上的最小值为
，

解
，得
或
，所以此种情形不成立. --------------------------11分

当
时，
在
上的最小值为
，

解
得
，所以
，

综上，实数
的取值范围是
或