扶余市第一中学2015—2016学年度上学期第一次月考试题

高三数学理科

本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考试结束后，只交答题纸和答题卡，试题自己保留。满分150分，考试时间120分钟。

第I卷 （选择题60分）

注意事项

1．答题前，考生在答题纸和答题卡上务必用直径0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名、考号填写清楚。请认真核准考号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．
:]

2．下面四个条件中，使
成立的充分而不必要的条件是( )

A.
B.
C.
D.

3．在三棱锥
中，已知
，
平面
,
. ?若其直观图、正视图、俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( ) A.
B.
C.
D.

4. 在某项测量中，测量结果
服从正态分布
，若
在
内取值的概率是
则
在
内取值的概率为( )．

A．
?B．
C．
D．

5．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）

A．36种 B．42种 C．48种 D．54种

6．
的展开式第
项与第
项的二项式系数相等，则展开式中所有奇数项系数和为( )．

A．
B．
C．
D．

7．给出下列关于互不相同的直线
、
、
和平面
、
的四个命题，其中为真命题的是( ) ．

①若
，
，点
，则
与
不共面；

② 若
、
是异面直线，
，
，且
，
，则
；

③ 若
，
，
，则
；

④ 若
，
，
，
，
，则
，

A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③

8．如图所示的程序框图描述的算法称为欧几里得辗转相除法，若输入

，则输出的
为（　 ）．

A．
B．
C．
D．

9．已知三棱锥
的底面是以为
斜边的等腰直角三角形，
设
四点均在以
为球心的某个球面上，则
到平面
的距离为 （ ）．

A．
B．
C．
D．

10．甲同学参加一次数学竞赛考试，已知在备选的
道试题中，甲能答对其中的
道试题，规定每次考试都从备选中有放回地取题，每次取一题，取三次随机进行测试，至少答对
题才算合格，则合格的概率为( ) ．

A．
?B．
C．
D．

11．在边长为2的正方体内部随机取一个点，则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为（ ）A．
B．
C．
D．

12．正四面体
外接球半径为3，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为( )

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.

13． 若命题“
”为假命题，则实数
的取值范围是 ．

14．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据(单位：百万元).

x

2

4

5

6

8



y

30

40

60

t

70



根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝6.5x＋17.5，则表中t的值为________．

15．设随机变量
的分布列
则
= ．

16．设
则
__________.

三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

中秋节吃月饼是我国的传统习俗.设有两种月饼礼盒,甲礼盒中装有2个五仁月饼,2个豆沙月饼,2个黑芝麻月饼；乙礼盒中装有3个五仁月饼,3个豆沙月饼.这12个月饼外观完全相同,从中随机选取4个.

（1）设事件A “选取的4个月饼中恰有2个五仁月饼,且这2个五仁月饼选自同一个礼盒”,求事件A发生的概率；

（2）设
为选取的4个月饼中豆沙月饼的个数,求随机变量
的分布列和数学期望.

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱
中，
是边长为4的正方形，平面
平面
，
．

(1) 求证：
平面
；

(2) 求
与平面
所成角的正切值．

19．（本小题满分12分）

“开门大吉”是某电视台推出的游戏益智节目．选手面对1-4号4扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．正确回答每一扇门后，选手可自由选择带着奖金离开比赛，还可继续挑战后面的门以获得更多奖金．（奖金金额累加）但是一旦回答错误，奖金将清零，选手也会离开比赛．在一次场外调查中，发现参加比赛的选手多数分为两个年龄段：20~30；30~40（单位：岁），是否猜对歌曲名称人数统计如图所示．

每扇门对应的梦想基金：（单位：元）

（1）写出
列联表；判断是否有95%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关？

说明你的理由．（下面的临界值表供参考）

P（K2≥k）

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001



k

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



(2）若某选手能正确回答第一、二、三、四扇门的概率分别为
，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率是
，且各个问题回答正确与否互不影响．设该选手所获梦想基金总数为
，求
的分布列及数学期望．

20．（本小题满分12分）

在四棱锥
中，底面
为正方形，
平面
，已知
，
为线段
的中点．

(1)求证：
平面
；

(2)求二面角
的余弦值．

21．（本小题满分12分）

B小区

低碳族

非低碳族



比例P







今天你低碳了吗？近来，国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件，人们可以据此计算出自已每天的碳排量，例如：家居用电的二氧化碳排放量(千克)=耗电度数
,汽车的二氧化碳排放量(千克)=油耗公升数
等．某班同学利用寒假在A、B两个小区逐户进行一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”这两族的人数占各自小区的比例P的数据如下：

A小区

低碳族

非低碳族



 比例P


[:.]





(1)如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这
人中恰有
人是低碳族的概率；

(2)A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有
的人加入到低碳族的行列，如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记
表示25个人中低碳族人数，求
．

请考生从(22)，(23)，(24)三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时用
铅笔在答题纸上把所选题目对应的题号涂黑．

22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若
，求
的值．

23．(本小题满分10分)选修4-4：极坐系与参数方程

以平面直角坐标系的原点为极点，
轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点
的极坐标为
，直线
过点
且与极轴成角为
，圆
的极坐标方程为
．

(1) 写出直线
参数方程，并把圆
的方程化为直角坐标方程；

(2) 设直线
与曲线圆
交于
、
两点，求
的值．

24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

设函数

(1)求证：
；

⑵ 当
时，求不等式
的解集．

扶余市第一中学2014—2015学年度下学期末考试

高三数学理科参考答案

1~12 BADAB DCCAD DA

13.
14. 50 15. 0.9 16. 45

17. 解：（Ⅰ）由已知有
, 所以事件错误！未找到引用源。发生的概率为
.

（Ⅱ）的所有可能取值为
,

所以随机变量的分布列为

X

0

1

2

3

4



















18．(1)证明：

因为平面
平面
且

所以
平面
；

(2)作
交AB于点D，连接

因为
平面
所以
AB，

所以
所以平面

所以作
交于点M，则
即为所求，

在Rt
中有

所以
与平面
所成角的正切值为
．

19．解：（Ⅰ）根据所给的二维条形图得到列联表，

正确

错误

合计



20~30（岁）

10

30

40



30~40（岁）

10

70

80



合计

20

100

120



根据列联表所给的数据代入观测值的公式得到k2=
=3<3.841

∴没有95%的把握认为猜对歌曲名称与否与年龄有关．

（Ⅱ）
的所有能取值分别为：0，1000，3000，6000，11000

则

0

1000

3000

6000

11000


















的分布列为

20.(1) 证明：设AC，BD相交于点O，连接OF，

因为ABCD为正方形，所以O为BD的中点，因为F是SD的中点，

所以OF//SB又因为

所以
平面
；

以DS为X轴，DC为Y轴，如立空间直角坐标系，则：

设平面BFS的法向量为

21.解：（1）设事件A；甲乙丙丁4人中恰有2人是低碳族

（2）设A小区的总人数为a,

2周后随机从A小区任选一人，如果是低碳族的概率是

由题知

（I）证明：连结OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC …………………2分

∴OD//AE 又AE⊥DE ……………3分

∴OE⊥OD，又OD为半径

∴DE是的⊙O切线 ………………………5分

（II）解：过D作DH⊥AB于H，

则有∠DOH=∠CAB

…………6分

设OD=5x，则AB=10x，OH=3x，

∴

由△AED≌△AHD可得AE=AH=8x ……………8分

又由△AEF∽△DOF 可得

……………………………………………………10分

解：（1）由题知

（2）将直线的参数方程代到圆C的直角坐标方程中整理得：

设B，C对应的参数分别为