吉林省实验中学2016届高三毕业班第一次适应性测试

数学(文科)2015

一．选择题（每小题5分，共60分）

1．已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围是 ( )

A．
B．
C．
D．

2．若
，其中
，i是虚数单位，则
等于（ ）

A．0 B．2 C．
D．5

3．已知两条不同的直线
和两个不同的平面
，有如下命题： ( )

①若
；

②若
；

③若
，其中正确命题的个数是

A．3 B．2 C．1 D．0

4．阅读右面的程序框图，若输出的
，

则输入的
的值可能为（ ）

A．
　 B．

C．
　 D．

5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为 （ ）

6．函数
的图象的大致形状是 ( )

7．下列说法错误的是 ( )

A．命题“若
，则
”的否命题是：“若
，则
”

B．如果命题“
”与命题“
或
”都是真命题，那么命题
一定是真命题.　　

C．若命题
：
，则
；

D．“
”是“
”的充分不必要条件；

8．若数列
满足
，
（
且
），则
等于（ ）

A．－1 B．
C．1 D．2

9．在平面直角坐标系中，
为坐标原点，直线
与圆
相交于
两点，
．若点
在圆
上，则实数
（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知
,则
( )

A．

B．
C．
D．

11．关于函数
，看下面四个结论： （ ）

①
是奇函数；②当
时，
恒成立；③
的最大值是
；④
的最小值是
．其中正确结论的个数为：

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(4)=1，
为f(x)的导函数，又知
的图象如图所示，若两个正数
满足，
，则
的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

二．填空题（每小题5分，共20分）

13．已知双曲线
的离心率为2，它的一个焦点与抛物线
的焦点相同，那么该双曲线的渐近线方程为_________．

14.记集合
构成的平面区域分别为M,N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为_________．

15．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 ．

16．已知函数
是定义在
上的奇函数，对
都有
成立，当
且
时，有
。给出下列命题

(1)
(2)
在[-2，2]上有5个零点

(3) 点(2014，0)是函数
的一个对称中心

(4) 直线
是函数
图象的一条对称轴．则正确是 ．

三．解答题（共70分）

17．（本题满分12分）已知锐角
中内角
、
、
的对边分别为
、
、
，
，且
.

（Ⅰ）求角
的值；

（Ⅱ）设函数
，
图象上相邻两最高点间的距离为
，求
的取值范围.

18．（本题满分12分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对
岁的人群随机抽取
人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（Ⅰ）补全频率分布直方图并求
、
、
的值；

（Ⅱ）从年龄段在
的“低碳族”中采用分层抽样法抽取
人参加户外低碳体验活动，其中选取
人作为领队，求选取的
名领队中恰有1人年龄在
岁的概率.

19．（本题满分12分）如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点。

(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由。

20. （本题满分12分） 如图，椭圆＋＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：y＝－1上，且椭圆的离心率e＝.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴， Q为垂足，M为线段PQ的中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN.

21. （本小题满分12分）已知函数
..

（I）当
时，求
的单调区间；

（II）若
在区间（1，2）上不具有单调性，求a的取值范围.

22. (本小题满分10分）在直角坐标系
中，直线
经过点
（-1，0），其倾斜角为
，以原点
为极点，以
轴非负半轴为极轴，与直角坐标系
取相同的长度单位，建立极坐标系.设曲线
的极坐标方程为

（1）若直线
与曲线
有公共点，求
的取值范围；

（2）设
为曲线
上任意一点，求
的取值范围

吉林省实验中学2016届高三毕业班第一次适应性测试

数学(文科)2015.9答案

DDCCC BDDCC AA

13:
14:
15:
16 : (1).(2).(3)

17. 解：（Ⅰ）因为
,由余弦定理知
所以
………2分

又因为
,则由正弦定理得:
，所以
所以
…6分

（Ⅱ）

由已知
,则
…………………8分

因为
,
,由于
,所以
……10分

所以
，根据正弦函数图象,所以
…………12分

18.解:（Ⅰ）第二组的频率为
，所以高为
．频率直方图如下：

…………………… 2分

第一组的人数为
，频率为
，所以
．

由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为
，所以
．

第四组的频率为
，所以第四组的人数为
，

所以
． …………………………5分

（Ⅱ）因为
岁年龄段的“低碳族”与
岁年龄段的“低碳族”的比值为
所以采用分层抽样法抽取6人，
岁中有4人，
岁中有2人. ……………8分

设
岁中的4人为
、
、
、
，
岁中的2人为
、
，则选取2人作为领队的有
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
，共15种；其中恰有1人年龄在
岁的有
、
、
、
、
、
、
、
，共8种. …………………………10分

所以选取的2名领队中恰有1人年龄在
岁的概率为
.…………………12分

19.(1)证明：因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC。又因为DE?平面BCP，所以DE∥平面BCP。

(2)证明：因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF。所以四边形DEFG为平行四边形。

又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG。所以四边形DEFG为矩形。

(3)解　存在点Q满足条件，理由如下：

如图，连接DF，EG，设Q为EG的中点。

由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝EG。

分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。

与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM＝QN＝EG，

所以Q为满足条件的点。

20．解：(1)依题意，得b＝1.

∵e＝＝，a2－c2＝b2＝1，∴a2＝4.

∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.

(2)证明：设P(x0，y0)，x0≠0，则Q(0，y0)，且＋y＝1.

∵M为线段PQ中点，∴M(，y0)．

又A(0,1)，∴直线AM的方程为y＝x＋1.

∵x0≠0，∴y0≠1，令y＝－1，得C(，－1)．

又B(0，－1)，N为线段BC的中点，

∴N(，－1)．

∴＝(－，y0＋1)．

∴·＝(－)＋y0·(y0＋1)

＝－＋y＋y0

＝(＋y)－＋y0＝1－(1＋y0)＋y0＝0，

∴OM⊥MN.

21. （1）增区间
减区间（1,2） 6分

（2）1
6分

12分

22.解：（1）将曲线
的极坐标方程
化为直角坐标方程为

直线
的参数方程为
（
为参数） 将
代入
整理得
3分

直线
与曲线
有公共点，

的取值范围是
5分

(2)曲线
的方程
可化为
，其参数方程为

（
为参数）

为曲线
上任意一点，

8分

的取值范围是
10分

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