吉林省实验中学2016届高三年级第一次模拟考试

数学(理)试卷

考试时间： 120分钟 试卷满分： 150 分

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

(2)设复数
（
是虚数单位），则
=

（A）
（B）
（C）
（D）

(3)下列函数中，既是偶函数又在
上单调递增的函数是

（A）
（B）
（C）
（D）

(4)若
，则
是
的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（5）如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的
为

（A）
的值

（B）
的值

（C）
的值

（D）
的值

（6）将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数

（A）在区间
上单调递减 （B）在区间
上单调递增

（C）在区间
上单调递减 （D）在区间
上单调递增

（7）如图，设区域
，向区域内随机投

一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落到阴影区域
内的概率是

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）设a，b，c是空间三条直线，
，
是空间两个平面，

则下列命题中，逆命题不成立的是

（A）当c⊥
时，若c⊥
，则
∥
　　

（B）当
时，若b⊥
，则

（C）当
，且c是a在
内的射影时，若b⊥c，则a⊥b

（D）当
，且
时，若c∥
，则b∥c

（9）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是

（A）64 （B）72或76 （C）80 （D）112

（10）若关于x的方程
有三个不同的实数解，则实数a的取值范围

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）在(
－
)5的展开式中
的系数为

（14）已知实数
满足约束条件
，则
的最大值是

（15）已知数列
为等比数列，且
，则
的值为

（16）已知函数
，
，

给出下列结论：

①函数
的值域为
；

②函数
在
上是增函数；

③对任意
，方程
在区间
内恒有解；

④若存在
，使得
成立，则实数a的取值范围是
．

其中所有正确结论的序号为 ．

三、解答题

（17）（本小题满分12分）

四边形
的内角
与内角
互补，

（Ⅰ）求角
的大小及线段
长；

（Ⅱ）求四边形
的面积.

（18）（本小题满分12分）

为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据：

处罚金额x（单位：元）

0

5

10

15

20



会闯红灯的人数y

80

50

40

20

10



（Ⅰ）若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少?

（Ⅱ）若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验．

①求这两种金额之和不低于20元的概率；

②若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望．

（19）（本小题满分12分）

正
的边长为4，
是
边上的高，
、
分别是
和
边的中点，现将
沿
翻折成直二面角
.

（Ⅰ）试判断直线
与平面
的位置关系，并说明理由；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）在线段
上是否存在一点
，使
？证明你的结论.

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆
的右焦点为
，点
在椭圆上．

（I）求椭圆的方程；

（II）点
在圆
上，且
在第一象限，过
作圆
的切线交椭圆于
,
两点，求证：△
的周长是定值．

（21）（本小题满分12分）

已知函数
.

（I）当
时，求函数
的单调增区间；

（II）若函数
在
上的最小值为
，求实数
的值；

（Ⅲ）若函数
在
上恒成立，求实数
的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

(22)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，圆周角
的平分线与圆交于点
，过点
的切线与弦
的延长线交于点
，
交
于点
．

（I）求证：
；

若
，
，
，
四点共圆，且
，求
．

(23)（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知椭圆

，直线

（
为参数）．

（I）写出椭圆
的参数方程及直线
的普通方程；

（II）设
，若椭圆
上的点
满足到点
的距离与其到直线
的距离相等，求点
的坐标．

(24)（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

设函数
.

（I）当
时，解不等式
；

（II）若
的解集为
，
，求证：
.

2015、9、11高三一模数学理答案

一、选择题

DACAC BABBC CB

二、填空题

13．-20 14.-3 15.
16. ①②④

三、解答题

解：

（18）解：（Ⅰ）由条件可知,处罚10元会闯红灯的概率与处罚20元会闯红灯的概率的差是
．---- 4分

（Ⅱ）①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A，从5种金额中随机抽取2种,总的抽选方法共有
种，满足金额之和不低于20元的有6种，故所求概率为
． ---- 6分

②根据条件，X的可能取值为5，10，15，20，25，30，35,分布列为

X

5

10

15

20

25

30

35



P（X）

















----10分

---- 12分

19．（Ⅰ）如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF//AB，

又AB
平面DEF，EF
平面DEF. ∴AB∥平面DEF. ---- 4分

（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，2）B（2，0，0）C（0，
……4分

平面CDF的法向量为
设平面EDF的法向量为

则
即
，

，

∴二面角E—DF—C的余弦值为
；

---- 8分

（Ⅲ）设

又
，

把
，

∴在线段
上存在点
，使
． ----12分

20解：（I）根据已知，椭圆的左右焦点为分别是
，
，
，

∵
在椭圆上，

∴
，

，
，

椭圆的方程是
； …………（6分）

（II）方法1：设
，则
，

，

∵
，∴
，

在圆中，
是切点，

∴
，

∴
，

同理
，∴
，

因此△
的周长是定值
． …………（12分）

方法2：设
的方程为
，

由
，得

设
，则
，
，

∴

，

∵
与圆
相切，∴
，即
，

∴
，

∵
，

∵
，∴
，同理
，

∴
，

因此△
的周长是定值
． …………（12分）

21．解：（1）由题意，
的定义域为
，且
．

时，

∴
的单调减区间为
，单调增区间为
．……3分

（2）由（1）可知，

①若
，则
，即
在
上恒成立，
在
上为增函数，

∴
，∴
（舍去）．

②若
，则
，即
在
上恒成立，
在
上为减函数，

∴
，∴
（舍去）．

③若
，当
时，
，∴
在
上为减函数，

当
时，
，∴
在
上为增函数，

∴
，∴

综上所述，
．………………………………………………………………9分

（3）∵
，∴