扬州中学2016届高三8月开学考试

数 学 （文科）试 题

（全卷满分160分，考试时间120分钟）

2015．8

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）

1.已知集合
，则
= ▲ ．

2.已知命题
，则
为 ▲ ．

3.若复数
（其中
为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数
▲ .

4. 设向量
，若
，则实数
的值为 ▲ .

5. 曲线
在点
处的切线方程为 ▲ ．

6. 在平面直角坐标系
中，直线
与圆
相交于
、
两点，则弦
的长等于 ▲ .

7. 记不等式x2＋x－6＜0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B．若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为 ▲ ．

8.若函数
是奇函数，则使
成立的
的取值范围为 ▲ .

9.已知
为第二象限角，
，则
＝ ▲ .

10.若函数
满足
，且
在
上单调递增，则实数
的最小值为 ▲ .

11. 在菱形
中，
,
,
,
,

则
▲ ．

12. 已知函数
，则不等式
的解集为 ▲ .

13.已知
是定义在
上的奇函数，当
时，
，函数
，如果对于任意
，存在
，使得
，则实数
的取值范围为 ▲ .

14.当
时，不等式
恒成立，则实数a的取值范围

为 ▲

二、解答题（本大题共6小题，计90分）

15．（本小题满分14分）

已知
；

（1）求
； （2）求
．

16. （本小题满分14分）

已知命题
:关于实数
的方程
有两个不等的负根；命题
:关于实数
的方程
无实根．

若命题“
或
”真，“
且
”假，求实数
的取值范围．

若关于
的不等式
的解集为M；命题
为真命题时，
的取值集合为N，当
时，求实数
的取值范围．

17. （本小题满分14分）

已知向量
，函数

（1）求
的最小正周期；

（2）在
中，
分别是角A、B、C的对边，若
的面积为
，求
.

18. （本小题满分16分）

右图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是一个矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在圆的圆心为O．为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH(其中E，F在圆弧AB上， G，H在弦AB上)．过O作OP?AB，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P．已知OP＝10，MP＝6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）．

（1）按下列要求建立函数关系式：

(i)设∠POF＝θ (rad)，将S表示成θ的函数；

(ii)设MN＝x (m)，将S表示成x的函数；

（2）请选择上面的某一种方案来求： 当MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？

19.（本小题满分16分）

已知函数
，

（1）求函数
的定义域和值域；

（2）设
（其中
为参数），求
的最大值
。

20．(本小题满分16分)

设函数
，
.

（1）当
时，函数
与
在
处的切线互相垂直，求
的值；

（2）若函数
在定义域内不单调，求
的取值范围；

（3）是否存在实数
,使得
对任意正实数
恒成立？若存在，求出满足条件的实数
；若不存在，请说明理由.

高三数学（文科）答案2015年8月27日

1、
2.
3.－1 4.
5.

6.
7. (－∞，－3] 8.
9．
10.

11.－12 12.
13.
14.

15.解：（1）

（2）

16.解： （1）若方程
有两不等的负根，则
解得

即命题
:
，

若方程
无实根，则Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)＜0

解得：1＜m＜3.即命题
:1＜m＜3.

由题意知，命题p、q应一真一假，即命题p为真，命题q为假或命题p为假，命题q为真.∴
解得：m≥3或1＜m≤2.

（2）（2）∵
∴

，解得：
．

17

18.解：（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．

(i)在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．

在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5，

故S＝EF×FG＝20sinθ(10cosθ－3.5)＝10sinθ(20cosθ－7)．

即所求函数关系是S＝10sinθ(20cosθ－7)，0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝．

………… 4分

(ii)因为MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x＋3.5．

在Rt△ONF中，NF＝＝＝．

在矩形EFGH中，EF＝2NF＝，FG＝MN＝x，

故S＝EF×FG＝x．

即所求函数关系是S＝x，0＜x＜6.5． ………… 8分

（2）方法一：选择(i)中的函数模型：

令f(θ)＝sinθ(20cosθ－7)，

则f ′(θ)＝cosθ(20cosθ－7)＋sinθ(－20sinθ)＝40cos2θ－7cosθ－20．………… 10分

由f ′(θ)＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝，或cosθ＝－．

因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝．

设cosα＝，且α为锐角，

则当θ∈(0，α)时，f ′(θ)＞0 ，f(θ)是增函数；当θ∈(α，θ0)时，f ′(θ)＜0 ，f(θ)减，

所以当θ＝α，即cosθ＝时，f(θ)取到最大值，此时S有最大值．

即MN＝10cosθ－3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大． ………… 14分

方法二：选择(ii)中的函数模型：

因为S＝ ，令f(x)＝x2(351－28x－4x2)，

则f ′(x)＝－2x(2x－9)(4x＋39)． ……… 10分

因为当0＜x＜时 ，f ′(x)＞0，f(x)单调递增，当＜x＜时，f ′(x)＜0，f(x)单调递减，

所以当x＝时，f(x)取到最大值，此时S有最大值．

即MN＝x＝4.5m时，通风窗的面积最大． ………… 14分

19．解：
由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为
…………2分

又
由
≥0 得值域为
…………6分

（2）因为

令
，则
，

∴

(
)+t=

由题意知g(a)即为函数
的最大值。

注意到直线
是抛物线
的。对称轴

当
0时，
，所以

当
0时，
递增，所以

当
0时，

…………………………16分

20．解：（1）当
时，
，

在
处的切线斜率
，

由
，

在
处的切线斜率
，

，

.……………4分

（2）易知函数
的定义域为
，

又
，

由题意，得
的最小值为负，

（注：结合函数
图象同样可以得到），

，

，

（注：结合消元利用基本不等式也可）.…9分

（3）令

，其中

则

，设

在
单调递减，
在区间
必存在实根，不妨设

即
，可得
（*）

在区间
上单调递增，在
上单调递减，所以
，

，代入（*）式得

根据题意
恒成立.

又根据基本不等式,
,当且仅当
时,等式成立

所以
,

.代入（*）式得,
,即

………………16分(以下解法供参考，请酌情给分)

解法2：

，其中

根据条件
对任意正数
恒成立

即
对任意正数
恒成立

且
，解得
且
，

即
时上述条件成立此时
.

解法3：

，其中

要使得
对任意正数
恒成立，

等价于
对任意正数
恒成立，即
对任意正数
恒成立，设函数
，则
的函数图像为开口向上，与
正半轴至少有一个交点的抛物线，因此，根据题意，抛物线只能与
轴有一个交点，即
，所以
.