2016届高三年级第一次月考

数学试题（理）

（满分150分，考试时间120分）

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)

1．分析人的身高与体重的关系，可以用

A．残差分析　　　 B．回归分析

C．等高条形图 D．独立性检验

2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有

A．36 B．48种 C．96种 D．192种

3．已知f(x)＝，则f(3)为

A．1 B．2 C．4 D．5

4．设随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，则等于

A．p2 B．(1－p)2 C．1－p D．以上都不对

5．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数共有

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

6．若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(3)－f(4)＝A．1 B．?1 C．2 D．-2

7．已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为

A.  B.  C.  D. 

8．－等于

A.1 B.2 C.4 D.

9．已知0

A．1 B．2 C．3 D．1或2或3

10．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为

A．
B．

C．[1，
] D．(1，
)

11．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m等于(　　)

A．8 B．7 C．6 D．5

12．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为

A．800 B．360 C．240 D．160

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)

13．若对于任意的实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3.则a2的值为______．

14．已知
，
，则
的值为_______.

15．若“
”是真命题，则实数
的最小值为 .

16．设
若存在实数
，使得函数
有两个零点，则
的取值范围是 .

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上):]

17．(本题满分12分）
，
.

（1）当
错误！未找到引用源。时，求A的非空真子集的个数；

（2）若
，求实数m的取值范围.

18．(本题满分12分）在平面直角坐标系
中，已知向量

，
，
．

（1）若
，求tan x的值；

（2）若
与
的夹角为
，求
的值．

19．(本题满分12分）在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：

（1）甲、乙两单位演出序号均为偶数的概率；

（2）甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率．

20．(本题满分12分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；

（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红累计得分的分布列，并指出他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

21．(本题满分12分）

已知函数
.

（1）求函数
的单调区间；

（2）若
（其中
），求
的取值范围，并说明
.

请考生在（22）.（23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．

22（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系
中，圆
的参数方程为
（
为参数）.

（1）以原点为极点、
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆
的极坐标方程；

（2）已知
，圆
上任意一点
，求△
面积的最大值.

23．（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数
．

（1）求不等式
的解集；

（2）若
，
恒成立，求实数
的取值范围．

2016届高三年级第一次月考理科数学参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分） 1-5：BCABB 6-10：BBCBA 11-12：CC

二、填空题（每小题5分，共20分） 13. 6; 14. 3; 15. 1; 16.
.

三、解答题

17.(本题满分12分）

【解】化简集合A=
，集合
.………….3分

（1）
,即A中含有6个元素，
A的非空真子集数为
个.……6分

（2）(2m+1)－(m－1)=m+2

①m= －2时，
；…………7分

②当m<－2 时，(2m+1)<(m－1)，所以B=
,因此，要
，则只要
，所以m的值不存在；…………8分

③当m>－2 时, (2m+1)>(m－1),所以 B=（m-1,2m+1）,因此，要
，则只要
.…………10分

综上所述，m的取值范围是：m=－2或
…………12分

18. (本题满分12分）

【解】（1）∵
，
且
，

∴
……3分

又
，∴
，

∴
即
，∴
；………6分

由（1）依题知

，……9分

∴
又
，

∴
即
．……12分

19．(本题满分12分）

【解】考虑甲、乙两个单位的排列，甲、乙两单位可能排列在6个位置中的任意两个，有A＝30种等可能结果．

(1)设A表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，则A包含的结果有A＝6种，

故所求的概率为P(A)＝＝.

(2)设B表示“甲、乙两单位演出序号不相邻”，则表示甲、乙两单位为演出序号相邻，

包含的结果有5×A＝10种，

故所求的概率为P(B)＝1－P()＝1－＝.

20.(本题满分12分）

【解】(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，

则事件A包含有“X＝0”，“X＝2”，“X＝3”三个两两互斥的事件，…1分

因为P(X＝0)＝(1－)×(1－)＝，

P(X＝2)＝×(1－)＝，

P(X＝3)＝(1－)×＝，所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，

即这2人的累计得分X≤3的概率为.……5分

(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1、X2的分布列如下：

X1

0

2

4



P











X2

0

3

6



P









………9分

所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，

E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.………11分

因为E(X1)>E(X2)，

所以他们都选择方案甲进行投资时，累计得分的数学期望较大．……12分

21.（本小题满分12分）

【解】（Ⅰ）
. ………………2分

（ⅰ）当
时，
，则函数
的单调递减区间是
.……3分

（ⅱ）当
时，令
，得
.

当
变化时，
,
的变化情况如下表





















↘

极小值

↗



 所以
的单调递减区间是
，单调递增区间是
.……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：

当
时，函数
在区间
内是减函数，所以，函数
至多存在一个零点，不符合题意. ………………6分

当
时，因为
在
内是减函数，在
内是增函数，所以 要使
，必须
，即
.[:]

所以
. …………7分

当
时，
.

令
，则
.

当
时，
，所以，
在
上是增函数.

所以 当
时，
.

所以
. ………………9分

因为
，
，
，

所以
在
内存在一个零点，不妨记为
，在
内存在一个零点，不妨记为
. ………………10分

因为
在
内是减函数，在
内是增函数，

所以
.

综上所述，
的取值范围是
. ………………11分

因为
，
，

所以
. ………………12分

22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

【解】（1）圆