珠海市2015-2016学年度第一学期高三摸底考试

理科数学

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1． 已知集合
,
,则
（ ）

A.
　　 B.
C.
D.

2． 已知复数
，
，则复数
在复平面内对应的点位于（ ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 　 D. 第四象限

3． 若
,
满足不等式组
，则
的最大值是（ ）

A.
B.
　 C.
　　 D.

4．已知
，且
，则
与
的夹角为（ ）

A.
B.
　 C.
　　 D.

5． 当
时,函数
的（ ）

A．最大值是
，最小值是
B．最大值是
，最小值是

C．最大值是
，最小值是
D．最大值是
，最小值是

6． 函数
的单调增区间是（ ）

A.
B.

C.
D.

7．已知函数
在点
的切线与直线
垂直,则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8． 已知
的部分图象如图所示，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

9．执行如右下图的程序框图，若输入
，则输出
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．正三棱柱被一个平面截去一部分后与半圆柱组成一个几何体，该几何体的三视图如左上图所示，则该几何体的表面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．若
，且
，设函数
,若不等式
的解集是
，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

12．若偶函数
的图像关于
对称，且当
时，
，则函数
的图象与函数
的图象的交点个数为（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知数列
的前
项和为
,且
,则
．

14．由数字
组成无重复数字的五位数,则该五位数是奇数的概率为 ．

15．已知双曲线
的半焦距为
，直线
过
,
两点，若直线
与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为 ．

16．
展开式中，所有项的系数和比二项式系数和多
，则展开式中的中间项是 ．

选择题答案：ＤＤＣＣＢ　ＤＡＢＢＡ　ＣＣ

三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

　　已知等差数列
的前
项和为
,公差
，
.

（1）求
；

（2）若
,求数列
的前
项和为
．

解(1)
,
，
……………………………………………………2分

,即
………………………………………………………………………3分

所以
……………………………………………………………………………4分

(2)
………………………………7分

……………10分

即
……………………………………………………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

　　某中学号召学生在今年暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动），该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示；

(1)求合唱团学生参加活动的人均次数；

(2)从合唱团中任选两名学生，用
表示这两人参加活动次数的和，求
的分布列.（结果用最简分数）

解：（1）由题意得：
………………………………………………………… 2分

∴ 合唱团学生参加活动的人均次数为
………………………………………………………………… 3分

（2）由题意得
的所有可能取值为
…………………………………………………………… 5分

，

，

，

，

，………………………………………………………………………………10分

∴
的分布列为：





























…………………………………………………………………………………………………………………12分

19．（本小题满分12分）

　　已知如图：四边形
是矩形，
平面
,且
,点
为
上一点，且
平面
.

(1)求证：
平面
；

(2)求二面角
的余弦值.

解：（1）证明:连接
交
于
，连结
，

是矩形

为
的中点…………………………………… 1分

由
平面
得：

由
知：点
为
中点…………………………………………………………… 2分

∴
为
的中位线

∴
…………………………………………………………………………………… 3分

∵
平面
；
平面
；

∴
平面
；………………………………………………………………………… 4分

（2）由
平面
得：
；

由
平面
得:
，
；

∴
平面
，则
………………………………………………………… 6分

在
中，

同理可得：