安庆九中2015届高三第五次月考（2015年5月）理科数学试题

一、选择题（本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.若复数满足
，则复数的共轭复数
的虚部为（ ）

A．
B． C．
D．

2.已知直线
，
，则“
”是“
”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )

A． B．

C．
D．

4.阅读如下程序框图，如果输出
，那么空白的判断框中应填入的条件是 ( )

A．
B．
C．
D．

5．已知
为等比数列,
,
,则
（　 ）

A．
B．
C．
D．

6．已知
，实数
满足：
，若
的最小值为1，则
( )

A．2 B．1 C．
D．

7、某校团委组织“共圆中国梦”知识演讲比赛活动，现有4名选手参加最后决赛，若每位选手都可以从4个备选题目中任选出一个进行演讲，则恰有一个题目没有被这4位选手选中的情况有 ( )

A. 288种 B.144种 C. 72种 D. 36种

8．若从区间
内随机取两个数，则这两个数之积不小于的概率为（ ）

A．
B.
C.
D.

9.定义在上的函数
对任意
、
都有
，且函数
的图象关于
成中心对称，若，满足不等式
．则当
时，
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

10.已知平面向量满足：
,若
,则
的取值范围是（ ）

A
B
C
D

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

11．
的展开式中的常数项为　　 ．

12.以平面直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线

（为参数，
）上的点到曲线
的最短距离是_________

13.设函数
,将
的图像向右平移
个单位,使得到的图像关于对称,则的最小值为_________

14．设
，
是双曲线

，
的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使
（
为坐标原点），且
，则双曲线的离心率为_____________

15.如图，四面体
中，
两两垂直，且

. 给出下列命题：

①存在点（点除外），使得四面体
仅有3个面是直角三角形；

②存在点，使得四面体
的4个面都是直角三角形；

③存在唯一的点，使得四面体
是正棱锥（底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，这样的棱锥叫做正棱锥）；

④存在唯一的点，使得四面体
与四面体
的体积相等；

⑤存在无数个点，使得
与
垂直且相等.

其中正确命题的序号是 _________．（把你认为正确命题的序号都填上）

三、解答题（本题包括6小题，共75分。请把解题过程和正确答案写在答题卷上）．

16.三角形
中，已知
，其中，角
所对的边分别为
．

（1）求角的大小；

（2）求
的取值范围．

17. (本题12分)如图，四棱锥
中，底面
是直角梯形，
，
，
侧面
，△
是等边三角形，
，
，是线段
的中点．

（1）求证：
；

（2）求
与平面
所成角的正弦值．

18．（本小题满分12分）

某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会．已知某人前三关每关通过的概率都是
，后两关每关通过的概率都是
．

（1）求该人获得奖金的概率；

（2）设该人通过的关数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

19.(本题满分13分)已知椭圆
：
过点
，离心率为
.

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）设
分别为椭圆
的左、右焦点，过
的直线
与椭圆
交于不同两点
，记
的内切圆的面积为
，求当
取最大值时直线
的方程，并求出最大值．

20．（本小题13分）若数列
的前项和
是
二项展开式中各项系数的和
．

（1）求
的通项公式；

（2）若数列
满足
，且

，求数列
的通

项及其前项和
；

（3）求证：
．

21．（本小题满分13分）

设函数
，其中和
是实数，曲线
恒与轴相切于坐标原点．

（1）求常数
的值；

（2）当
时，关于的不等式
恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：对于任意的正整数，不等式
恒成立.