海淀区高三年级第二学期期末练习数学（文） 2015.5

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数
对应的点位于（ ）



（A）第一象限

（B）第二象限

（C）第三象限

（D）第四象限



（2）已知命题
，则
为（ ）



（A）

（B）



（C）

（D）



（3）圆
的圆心坐标及半径分别是（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



（4）右图表示的是求首项为
，公差为2的等差数列
前项和的最小值的程序框图.则①处可填写（ ）





（A）

（B）



（C）

（D）



（5）已知点
，
，
为坐标原点.若点
在直线
上，且
与
垂直，则点
的坐标是（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



（6）在
中，若
，则
（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



（7）设
，则（ ）



 （A）

（B）

（C）

（D）



（8）已知不等式组
表示的平面区域为，点
.若点
是上的动点，则
的最小值是（ ）



（A）

（B）

（C）

（D）



二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）以坐标原点为顶点，
为焦点的抛物线的方程为 .

（10）已知数列
的前项和为
，
，
，则
.

（11）已知
，
，则
的最小值是 .

（12）满足
的
的一组值是 .（写出一组值即可）

（13）函数
的极值点
，曲线
在点
处的切线方程是 .

（14）某网络机构公布某单位关于上网者使用网络浏览器
的信息：

①316人使用；

②478人使用；

③104人同时使用和；

④567人只使用
中的一种网络浏览器.

则这条信息为 （填“真”或“假”），理由是 .

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）求函数
的最小值.

（16）（本小题满分13分）

某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况，随机抽取男、女生各20名进行测试，记录的数据如下：

已知该项目评分标准为：

（Ⅰ）求上述20名女生得分的中位数和众数；

（Ⅱ）从上述20名男生中，有6人的投掷距离低于7.0米，现从这6名男生中随机抽取2名男生，求抽取的2名男生得分都是4分的概率；

（Ⅲ）根据以上样本数据和你所学的统计知识，试估计该年级学生实心球项目的整体情况.（写出两个结论即可）

（17）（本小题满分13分）

如图所示，在四棱锥
中，
平面
，又
，
， 且
.

（Ⅰ）画出四棱准
的正视图；

（Ⅱ）求证：平面
平面
；

（Ⅲ）求证：棱
上存在一点，使得
平面
，并求
的值.

（18）（本小题满分14分）

已知数列
是首项为2，公比为2的等比数列，又数列
满足
，
是数列
的前项和.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）若对任意的
，都有
成立，求正整数k的值.

（19）（本小题满分13分）

已知函数
，其中
.

（Ⅰ）求
的单调区间；

（Ⅱ）若对任意的
，总存在
，使得
，求实数值.

（20）（本小题满分14分）

已知椭圆
，点为椭圆
的左顶点. 对于正常数
，如果存在过点
的直线
与椭圆
交于
两点，使得
，则称点
为椭圆
的“
分点”.

（Ⅰ）判断点
是否为椭圆
的“分点”，并说明理由；

（Ⅱ）证明：点
不是椭圆
的“分点”；

（Ⅲ）如果点
为椭圆
的“分点”，写出
的取值范围. （直接写出结果）

海淀区高三年级第二学期期末练习

数学（文）答案及评分参考 2015.5

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）D （3）A （4）C

（5）D （6）C （7）B （8）C

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）

（9）
（10）1 （11）

（12）
（13）
，

（14）假，由①②③可知只使用一种网络浏览器的人数是212+374=586，这与④矛盾

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）
. ………………4分

（Ⅱ）因为

………………6分

. ………………8分

因为
，

所以 当
，即
时，
取得最小值
.

………………13分

（16）（共13分）

解.(Ⅰ) 20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9． ………………4分

(Ⅱ) 由题意可知，掷距离低于7.0米的男生的得分如下：4，4，4，6，6，6.这6名男生分别记为
.从这6名男生中随机抽取2名男生，所有可能的结果有15种，它们是：
，
. ………………6分

用表示“抽取的2名男生得分均为4分”这一事件，则中的结果有3个，它们是：
. ………………8分

所以，所求得概率
. ………………9分

(Ⅲ)略. ………………13分

评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.

（17）（共14分）

（Ⅰ）解：四棱准
的正视图如图所示.



………………3分

（Ⅱ）证明：因为
平面
，
平面
，

所以
. ………………5分

因为
，
，
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………………7分

因为
平面
，

所以 平面
平面
. ………………8分

（Ⅲ）分别延长
交于点
，连接
，在棱
上取一点，使得
.下证
平面
.

………………10分

因为
，
，

所以
，即
.

所以
.

所以
. ………………12分

因为
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………………14分



（18）（共13分）

解：（Ⅰ）因为数列
是首项为，公比为的等比数列，

所以
. ………………2分

所以
. ………………3分

所以
. ………………6分

（Ⅱ）令
.

则
. ………………9分

所以 当
时，
；

当
时，
；

当
时，
，即
.

所以 数列
中最大项为
和
.

所以 存在
或
，使得对任意的正整数，都有
. ………………13分

（19）（共13分）

解：（Ⅰ）
………………2分

当
时，对
，
，所以
的单调递减区间为
；

………………4分

当
时，令
，得
.

因为
时，
；
时，
.

所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
. ………………6分

（Ⅱ）用
分别表示函数
在
上的最大值，最小值.

当
且
时，由（Ⅰ）知：在
上，
是减函数.

所以
.

因为 对任意的
，
，
，

所以对任意的
，不存在
，使得
. ………………8分

当
时，由（Ⅰ）知：在
上，
是增函数，在
上，
是减函数.

所以
.

因为 对
，
，

，

所以 对
，不存在
，使得
. ………………10分

当
时，令
.

由（Ⅰ）知：在
上，
是增函数，进而知
是减函数.

所以
,
，