淮南一中 蒙城一中 颍上一中 怀远一中2015届高三“四校”联考

数学（理科）试题

命题学校 颍上一中 考试时间 2015年5月2日

试题说明：本试卷分第I卷（客观题）和第II卷（主观题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号写在答题卡的相应位置.）

1.设是虚数单位，是复数的共轭复数.若复数满足
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.设集合

,B=
,则
子集的个数是（ ）

A. B.
C. D.

3.已知命题：“存在
，使得
”，则下列说法正确的是（ ）

A.是假命题；
“任意
，都有
”

B.是真命题；
“不存在
，使得
”

C.是真命题；
“任意
，都有
”

D.是假命题；
“任意
，都有
”

4.等差数列
中，
，

.若
的公差为某一自然

数,则的所有可能取值为( 　)

A．3、7、9、15、100 B. 4、10、12、34、100

C. 5、11、16、30、100 D. 4、10、13、43、100

5.已知函数
，则函数
在区间
上的零点

个数为（ ）

A． 3 B． 4 C． 5 D．6

6.如图所示的茎叶图（图一）为高三某

班50名学生的化学考试成绩，图（二）

的算法框图中输入的
为茎叶图中的

学生成绩，则输出的
分别是（ ）

A.
B.

C.
D.

7.已知平面向量
，
，
.要得到
的图像，只需将
的图像（ ）

A.向左平移
个单位长度 B.向右平移
个单位长度

C.向左平移
个单位长度 Ｄ.向右平移
个单位长度

8.在平面直角坐标系
中，圆
的参数方程为
（
为参数）.以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
.若直线
与圆C相切，则实数的取值个数为（ ）

A .0 B.1 C.2 D.3

9.设不等式组
表示的平面区域为，若函数
（
）的图像上存在区域上的点，则实数的取值范围是（ ）

A．
B.
C.
D.

10.设
，函数
满足
，若
，则
最小值是（ ）．

A． 4 B． 2 C．
D．

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置）

11．现有五张连号的电影票分给甲、乙、丙三人，每人至少一张,其中有两人各分得两张连号的电影票，则不同的分法有 种（用数字作答）.

12.已知双曲线Ｃ：
的离心率为
，若曲线

与双曲线Ｃ有且仅有2个交点，则实数k的取值范围 .

13.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .

14. 如图,在直角梯形
中，
，
,
，

.点是直角梯形内任意一点.若
，则点

所在区域的面积是 .

15.在正方体
中，点为正方形
的中心.

下列说法正确的是 （写出你认为正确的所有命题的序号）.

①直线
与平面
所成角的正切值为
；

②若
,
分别是正方形
,
的中心，则
；

③若
,
分别是正方形
,
的中心，则

；

④平面
中不存在使

成立的
点.

三、解答题：（本大题共6题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16．(本题满分12分)

已知函数
．

（）求函数
在
上的单调区间；

（）在ΔABC中，A为锐角，且角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=
，
,求△ABC面积的最大值.

17．(本题满分12分)

国家AAAAA级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖比赛．每3人组成一队，每人投掷一次．假设飞镖每次都能投中靶面，且靶面上每点被投中的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功”（靶面正方形
如图所示,其中阴影区域的边界曲线近似为函数
的图像）．每队有３人“成功” 获一等奖，２人“成功” 获二等奖，１人“成功” 获三等奖，其他情况为鼓励奖（即四等奖）（其中任何两位队员“成功”与否互不影响）．

（）求某队员投掷一次“成功”的概率；

（）设
为某队获奖等次，求随机变量
的分布列及其期望．

18．(本题满分12分)

已知：函数
（
）.

（I）求
在点
处的切线方程；

（II）当
时，求函数
的单调区间.

19．(本题满分12分)

已知四边形
是边长为
的菱形，对角线
．分别

过点
向平面
外作3条相互平行的直线

，其中点
在平面
同侧，
，且平面

与直线
相交于点
，
，
,连结
．

（I）证明：

；

（II）当点在平面
内的投影恰为
点时，求四面体

的体积.

20．(本题满分13分)

设椭圆E:
（
）过M（2，2e），N(2e,
)两点，其中e为椭圆的离心率，
为坐标原点.

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由.

21．(本题满分14分)

已知数列
满足
（
），
，记数列
的前项和为
，

.

（I）令
，求证数列
为等差数列，并求其通项公式；

（II）证明： （i）对任意正整数，
；

（ii）数列
从第2项开始是递增数列.

2015届高三“四校”联考数学（理科）参考答案

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



B

C

C

B

C

B

D

C

A

C



二、填空题

11.
12.
或
13.
14.
15.①②③④

三、解答题

16、解：
=

.

. …………………3分

（）y=
=

-
+1=2
.

令
得

.

令
得

.

所以在
内y=
的单调递增区间是
,单调递减区间是
. …………………6分

（）∵
∴
.

又∵A为锐角, ∴

又∵a=
，∴
.…………………8分

∴

∴
当且仅当 b=c=
时,bc取得最大值

∴ΔABC的面积最大值为
.…………………12分

17、解：（）由题意知：
，

………………………….2分

记某队员投掷一次 “成功”事件为A，

则
……………………………………….5分

（）因为
为某队获奖等次，则
取值为1、2、3、4.

，
，

，
…….9分

即
分布列为：

1

2

3

4















…………10分

所以，
的期望
………12分

18、解：由已知，
=
，
.

。

所以，
………4分

当
时，
，

此时

此时，

①、

此时，

②、

此时，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………１２分

19、解：（I）证明
,
平面
， CF面BDGE

C F//面BDGE　 ----------3分

又CF面ACF,　面BDGE面ACF=OP, CF//OP　　　---------------5分

又CF//GD OP//GD　　　　-------------6分

（II）VF-ACE=VE-ACF 　　---------7分

BE//CF, VE-ACF =VB-ACF =VF-ABC=
SABCOF 　　　　----------10分

SABC =
ACOB=
，OF=