淮南一中 蒙城一中 颍上一中 怀远一中2015届高三“四校”联考数学（文科）试题

命题学校 颍上一中 考试时间 2015年5月2日

试题说明：本试卷分第I卷（客观题）和第II卷（主观题）两部分，共150分，时间120分钟。

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的A、B、C、D四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号写在答题卡的相应位置.）

1.设是虚数单位，是复数的共轭复数.若复数满足
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2.抛物线
的准线方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

3.设集合A=
,B=
,则AB子集的个数是（ ）

A．1 B. 2 C. 3 D. 4

4.问题：①某地区10000名中小学生，其中高中生2000名，初中生4500名，小学生3500名，现从中抽取容量为200的样本；②从1002件同一生产线生产的产品中抽取20件产品进行质量检查.方法：Ⅰ、随机抽样法 Ⅱ、分层抽样法III、系统抽样法.其中问题与方法配对较适宜的是( )

A. ①Ⅰ，②Ⅱ B. ①III，②Ⅰ C. ①Ⅱ，②III D. ①III，②Ⅱ

5.命题：“
”，则命题的否定是（ ）

A.

B.

C.

D.

6.要得到
的图像，只需将
的图像（　　　）

A.向左平移
个单位长度 B.向右平移
个单位长度

C.向左平移
个单位长度 D.向右平移
个单位长度

7.已知等差数列
中，
，

.若
公差为某一自然数,则n的所有可能取值为( )

A．3,23,69 B. 4,24,70 C. 4,23,70 D. 3,24,70

8.设
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为（ ）

A.
B.11 C.
D.13

9.已知矩形
中，
，现向矩形
内随机投掷质点，则满足
的概率是（ ）

A.
B.
C.
D.

10.设函数
，若关于的方程
恰有三个不同的实数解，则实数的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置）

11. 函数
的定义域是 ；

12.一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体所有棱长的

取值集合为 ；

13．已知实数
满足
则
的最大值

为　　　；

14. 运行如右图的程序框图，若输出的随着输入的的增大而减

小，则的取值范围是 ；

15.如图所示，在确定的四面体
中，截面
平行于

对棱
和
.

(1)若
⊥
，则截面
与侧面
垂直；

(2)当截面四边形
面积取得最大值时，为

中点；

(3)截面四边形
的周长有最小值；

(4)若
⊥
，
，则在四面体内

　 存在一点P到四面体ABCD六条棱的中点的距　

离相等.上述说法正确的是 ．

三、解答题：（本大题共6题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

16．(本题满分12分)

已知函数
．

（I）求函数
的单调递减区间；

（）在
中，为锐角，且角
所对的边分别为
，若
，
,求
面积的最大值.

17．(本题满分12分)

为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：

（I）若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校高三年级学生总人数；

（II）根据茎叶图，分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中地理成绩；

（III）从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．

18．(本题满分12分)

如图，在四棱锥
中，
为正三角形，

⊥平面
，
⊥平面
，
为棱
的

中点，
.

（I）求证：
∥平面
；

（II）求证：平面
⊥平面
．

19．(本题满分13分)

　已知正项数列
的前项和为
，且满足
，
.

（I）求
、
的值，并求数列
的通项公式；

（II）设
，数列
的前项和为
，证明：
.

20．(本题满分13分)

已知函数
.

（I）若函数
在
处的切线与轴平行，求值；

（II）讨论函数
在其定义域内的单调性；

（III）定义：若函数
在区间D上任意
都有
，则称函数

是区间D上的凹函数.设函数
，其中
是
的导函数．根据上述定义，判断函数
是否为其定义域内的凹函数，并说明理由.

21．(本题满分13分)

设椭圆:

过
，
两点，其中为椭圆的

离心率，
为坐标原点.

（I）求椭圆的方程；

（II）过椭圆右焦点的一条直线
与椭圆交于
两点，若
，求弦
的长.

2015届高三“四校”联考数学（文科）参考答案

一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



A

D

B

C

C

D

B

C

A

B



二、填空题

11.
12.
13.
14.
15.②④

三、解答题

16、解：
=

…………………3分

（1）y=
=

-
+1=2

令
得

所以y=
的单调递减区间是

……6分

（2）∵
∴

又∵A为锐角∴
又∵a=
， ∴
…8分

∴
∴
当且仅当 b=c=
时,bc取得最大值

∴ΔABC的面积最大值为
……………12分

17、解：（）因为每位同学被抽取的概率均为0.15，则高三年级学生总数

…………………………………………… 3分

（）由茎叶图可知甲校有22位同学分布在60至80之间，乙校也有22位同学分布在70至80之间，乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大，方差较小.所以，乙校学生的成绩较好.…………………………………………7分

（III）由茎叶图可知，甲校有4位同学成绩不及格，分别记为:1、2、3、4；乙校有2位同学成绩不及格，分别记为：5、6.则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能：（1,2）、（13）、（1,4）、（1,5）、（1,6）、（2,3）、（2,4）、（2,5）、（2,6）、（3,4）、（3,5）、（3,6）、（4,5）、（4, 6）、（5,6），总共有15个基本事件.其中，乙校包含至少有一名学生成绩不及格的事件为,则包含9个基本事件，如下：（1,5）、（1,6）、（2,5）、（2,6）、（3,5）、（3,6）、（4,5）、（4, 6）、（5,6）. …………………10分

所以，
…………………………………………………12分

18、解：（1）取AC中点N，连接MN,BN

由于M、N分别是AE、AC的中点，∴


EC ，又BD

EC

∴ MN
BD从而MNBD为平行四边形

∴ DM//BN,又

所以DM//面ABC ………………6分

(2) 由（1）及ABC为等边三角形，∴BN丄AC，

又BD丄面ABC ∴BD丄AC, BN∩BD=B

从而AC⊥面BDN，即AC丄面BDMN

而AC在平面AEC内， ∴面EAC上面BDMN, 即面ECA丄面BDM ………12分

19、解：（1）当
时，
，又
，则
.

同理求得
， .…………………2分

由
，
时，
，即
，又
易知
，则
，即
，所以
是以1为首项1为公差的的等差数列.

所以
，代入
得
，
.…………………6分

（2）由（1）知
，

所以


,………9分

则

.

所以
. …………………13分

20、解：（1）由题意
又

处切线与轴平行

从而
……………………………………4分(2) 由

当

在定义域
内单调递增……..6分

当
时，令
得
而方程
有二根

，且
从而
在
上递增，
上递减， ……..8分

综上，

在
上递增；
时，
在
上递增，
上递减……………………9分

(3)由题意
…………………10 分

令任意
则

所以

=