海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理） 2015.5

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

（1）已知全集
，集合
，
，那么
=（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（2）设
，则（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）在极坐标系中，过点
且平行于极轴的直线的方程是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

（4）已知命题，，那么“
为真命题”是“
为真命题”的（ ）

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（5）已知函数
（为常数）为奇函数，那么
（ ）

（A）
　　（B）
　　（C）
　　　（D）

（6）已知函数
的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计
的值约为（ ）

（A）
　　（B）
　　 （C）
　　　（D）

（7）已知
是定义域为的偶函数，当
时，
.那么函数
的极值点的个数是（ ）

（A）5 （B）4 （C）3 （D）2

（8）若空间中有
个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样的值（ ）

（A）不存在 （B）有无数个 （C）等于5 （D）最大值为8

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若等比数列
满足
，
，则公比
_____；
．

（10）如图，在
中，
，
，点
在
边上，且圆
与
相切于点，
与圆
相交于点，，则
= ，
= .

　

（11）右图表示的是求首项为
，公差为2的等差数列
前项和的最小值的程序框图.①处可填写_____；②处可填写 ．

（12）若双曲线
上存在四个点
，使得四边形
是正方形，则双曲线
的离心率的取值范围是 .

（13）用红、黄、蓝三种颜色对如图所示的三个方格进行涂色.若要求每个小方格涂一种颜色，且涂成红色的方格数为偶数，则不同的涂色方案种数是 .（用数字作答）



（14）设关于
的不等式组
表示的平面区域为，已知点
，点
是上的动点.
，则
的取值范围是 .

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题满分13分）

在
中，
，
，
.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求证：
.

（16）（本小题满分13分）

某中学为了解初三年级学生“掷实心球”项目的整体情况，随机抽取男、女生各20名进行测试，记录的数据如下：

已知该项目评分标准为：

注：满分10分，且得9分以上(含9分)定为“优秀”．

（Ⅰ）求上述20名女生得分的中位数和众数；

（Ⅱ）从上述20名男生中，随机抽取2名，求抽取的2名男生中优秀人数
的分布列；

（Ⅲ）根据以上样本数据和你所学的统计知识，试估计该年级学生实心球项目的整体情况.（写出两个结论即可）

（17）（本小题满分13分）

如图所示，在四棱锥
中，
，
，
，
是棱
上一点.

（Ⅰ）若
，求证：
平面
；

（Ⅱ）若平面
平面
，平面
平面
，求证：
平面
；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若二面角
的余弦值为
，求
的值.

（18）（本小题满分14分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的零点及单调区间；

（Ⅱ）求证：曲线
存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标
.

（19）（本小题满分13分）

已知椭圆
上的点到它的两个焦点的距离之和为，以椭圆
的短轴为直径的圆
经过这两个焦点，点，分别是椭圆
的左、右顶点.

（Ⅰ）求圆
和椭圆
的方程；

（Ⅱ）已知，
分别是椭圆
和圆
上的动点（，
位于轴两侧），且直线
与轴平行，直线
，
分别与轴交于点
，
.求证：∠
为定值.

（20）（本小题满分14分）

对于数列
，经过变换
交换中某相邻两段的位置（数列中的一项或连续的几项称为一段），得到数列
.例如，数列

（
，
）

经交换
两段位置，变换为数列

.

设
是有穷数列，令
.

（Ⅰ）如果数列
为
，且
为
. 写出数列
；（写出一个即可）

（Ⅱ）如果数列
为
，
为
，
为
，
为
.写出数列
；（写出一组即可）

（Ⅲ）如果数列
为等差数列：
，
为等差数列：
，求的最小值.

数学（理）答案及评分参考 2015.5

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）D （3）D （4）A

（5）B （6）A （7）C （8）C

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分）

（9）2，
（10）
， （11）
，

（12）
（13）14 （14）

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为
，所以
.

因为
，
，所以
.

解得：
，或
（舍）. ………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
. 所以
.

因为
，
，
，所以
.

所以
. ………………12分

因为
， 所以
.

因为
， 所以
. ………13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：

5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．

所以中位数为8，众数为9． ………………3分

（Ⅱ）
的可能取值为0，1，2． ………………4分

；
；
；

所以抽取的2名男生中优秀人数
的分布列为：

………………10分

（Ⅲ）略. ………………13分

评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.

（17）（共14分）

（Ⅰ）证明：连结
交
于点
，连结
.



因为
，
， 所以
.

因为
，所以