2015广西高考压轴卷理科数学

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2. 设复数z满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3. 已知点
,
,
,
，则向量
在
方向上的投影为（ ）

4. 在△ABC中,
则
= ( )

A．
B．
C．
D．

5. 两位工人加工同一种零件共100个,甲加工了40个,其中35个是合格品,乙加工了60个,其中有50个合格,令A事件为“从100个产品中任意取一个,取出的是合格品”,B事件为“从100个产品中任意取一个,取到甲生产的产品”,则P(A|B)等于( )

A.
B.
C.
D.

6. 某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )

A． B．
C．
D．

7. 将6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ）

A．144 B．120 C．72 D．24

8.已知函数
则曲线
在点
处的切线方程是（ ）

A.
B.
C.
D.

9.已知
满足约束条件
当目标函数
在该约束条件下取到最小值
时，
的最小值为（ ）

A．5 B．4 C．
D．2

10..在直三棱柱
中，A
,D,E分别是
和
的中点，则直线DE与平面
所成角为（ ）

A．
B．
C．
D．

11.设
分别为双曲线
的左、右焦点，双曲线上存在一点使得
则该双曲线的离心率为（ ）

A.
B.
C.
D.3

12.已知为常数，函数
有两个极值点
，则（ ）

A.
B.

C.
D.

二.填空题:(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上)

13.设函数
，其中
，则
的展开式中
的系数为_______

14.关于函数
有以下命题：

① 由
得
必定是的整数倍；

②
的表达式可改写为
；

③
的图像关于点
对称

④



____________

15. 已知
是定义域为R的偶函数，当
时，
那么，不等式
的解集是 ．

16. 已知圆
，点在直线
上，若过点存在直线与圆
交于、两点，且点为
的中点，则点横坐标
的取值范围是 ．

三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分10分）已知数列
满足
，

（1）　求
的通项公式； （2）　求数列
的前项和
．

18. （本小题满分12分）某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于
小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段
，
，
，
，
（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．

（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；

（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记
为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量
的分布列和数学期望
和方差
．

19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
,
，
,
,
分别为
的中点.

（1）证明：
；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值.

20.（本题满分12分）在平面直角坐标系
中，动点到两点
，
的距离之和等于，设点的轨迹为曲线
，直线
过点
且与曲线
交于，两点．

（1）求曲线
的轨迹方程；

（2）是否存在△
面积的最大值，若存在，求出△
的面积；若不存在，说明理由.

21（本题满分14分）已知函数
，

（1）若
求曲线
在
处的切线的斜率；

（2）求
的单调区间；

（3）设
若存在
对于任意
使
求的范围。

请考生在第22,23,24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.

22. （本题满分10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE. （选修4—1：几何证明选讲）

（Ⅰ）证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形.

23.（本小题满分10分）（选修4—4：坐标系与参数方程）

以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，－5），点M的极坐标为（4，
），若直线
过点P，且倾斜角为
，圆C以M为圆心，4为半径。

（I）求直线
的参数方程和圆C的极坐标方程。

（II）试判定直线
与圆C的位置关系。

24. （本小题10分）(选修4-5:不等式选讲)

设函数的最大值为M．

（1）求实数M的值；

（2）求关于的不等式的解集．

数学（理）参考答案

一．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

A

C

C

B

D

A

B

A

B

D





二．13. 15 ; 14.
②,③ ; 15.
; 16
.

三：17. 【解析】（1）由
得

，

得
……………………………5分

（2）

　　　　①

　　　　　　 ②

①②得

.……………………………10分

18.解：（Ⅰ）根据题意，参加社区服务时间在时间段
小时的学生人数为
（人），参加社区服务时间在时间段
小时的学生人数为
（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为
人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为
…………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率为
由已知得，随机变量
的可能取值为
．

所以
；
；

；
．

随机变量
的分布列为

0

1

2

3















因为
~
，所以
．
…12分

19.【解析】(1)易知AB,AD，A P两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB,AD, AP所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．设
，则相关各点的坐标为：
，
，
，
,
,

. ………2分

从而
,
＝
，
＝
． 因为
，
所以
·
＝
.

解得
或
(舍去)． ………4分

于是
＝(
，1，－1)，
＝(
，1,0)．

因为
·
＝－1＋1＋0＝0，所以
⊥
，即
． ………6分

(2)由(1)知，
＝(
,1,-2)，
＝(0，2,-2)．

设
是平面PCD的一个法向量，则

即

令
，则＝(1，
，
)． ………9分

设直线EF与平面PCD所成角为
，则

＝|
〈，
〉|＝|
|＝
.

即直线EF与平面PCD所成角的正弦值为
. ………12分

20. 【解析】（Ⅰ）由椭圆定义可知，点的轨迹C是以
，
为焦点，长半轴长为的椭圆．故曲线
的方程为
．

（Ⅱ）因为直线
过点
，可设直线
的方程为
或
（舍）．

则

整理得
.·······················7分

设

解得

则

因为

···························10分

设

则
在区间
上为增函数

所以

所以
，当且仅当
时取等号，即

所以
的最大值为
·································13分

21.

解：

(I)

综上：
的单调增区间为

的单调增区间为
减区间为

一定符合题意，

当
的单调增区间为
减区间为

由题意知，只需满足

综上：

22.【解析】

(Ⅰ) 由题设知A、B、C、D四点共圆，所以D=CBE，由已知得， CBE=E ,

所以D=?E?????????? ……………5分

（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，故O在直线MN上，又AD不是⊙O的直径，M为AD中点，故OM⊥AD， 即MN⊥AD，所以AD//BC,故A=CBE， 又CBE=E，故A=E

由(Ⅰ)知D=E， 所以△ADE为等边三角形．?????? ……………10分

23.【解析】（1）直线
的参数方程
（t为参数）

M点的直角坐标为（0， 4） 圆C的半径为4

圆C的方程 为
把
代入

得圆C极坐标方程
………………………………5分

（2）直线
的普通方程为

圆心M到
的距离为

∴直线
与圆C相离。 ………………………………………10分

24.【解析】

（1）

=3，

当且仅当x=4时等号成立.

故函数的最大值M=3…………………………………5分

（2）由绝对值三角不等式可得.

所以不等式的解x就是方程的解.

由绝对值的几何意义得，当且仅当时，.

所以不等式的解集为……………………10分