潮州市2014-2015学年度高考第二次模拟考试数学(理科)

参考公式：球的表面积

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

1．若复数
是纯虚数(是虚数单位，是实数)，则等于（ ）

A. -1 B.
C.2 D. 3

2．为了了解潮州市居民月用电情况，抽查了该市100户居民月用电量（单位：度），得到频率分布直方图如下：根据下图可得这100户居民月用电量在〔150,300〕的用户数是（ ）

A. 70

B. 64

C. 48

D.30

3．已知数列
的前n项和
，则
的值为（ ）

A. 9 B. 16 C.21 D.11

4. 在
中，若
，则
的形状是（ ）

A．钝角三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．不能确定

5．执行右边的程序框图，若输出
，

则输入
（ ）

A.6 B. 7 C.8 D.9

6. 设集合
,
,

则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又必要条件

7．已知
，
，
三点共线，其中
，则
的最小值是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

8．已知奇函数
的导函数
在R恒成立，且
满足不等式

，则
的取值范围是(　　)

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9－13题）

9．设随机变量
服从正态分布
，

若
则
________.

10．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，

得该几何体的表面积是________.

11．已知为正偶数，且
的展开式中

第3项的二项式系数最大，则第3项的系数是 ．（用数字作答）

12．抛物线
上到焦点的距离等于6的点的坐标为 ．

13．函数f（x）=sin (
)的导函数
的部分图像

右图所示，其中， A,C为图像与x轴的两个交点，B为

图像的最低点，P为图像与y轴的交点．若在曲线段

与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在△ABC内的

概率为 .

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程
，

直线的极坐标方程为
，

则圆心到直线距离为 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图所示，⊙
的两条切线
和
相交于点，与⊙
相切于
两点，
是⊙
上的一点，若
，则
________.

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知向量
，
,函数
的最大值为2．

（1）求
的最小正周期和解析式；

（2）设
，
，
，求
的值．

17．（本小题满分12分）

甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，各局比赛结果相互独立。

（1）求乙在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；

（2）若每局比赛胜利方得1分，对方得0分，求甲最终总得分X的分布列及数学期望。

18．（本小题满分14分）

如图1,平面五边形SABCD中
沿AD折起成.如图2，使顶点S在底面的射影是四边形ABCD的中心
，
为
上一点，
.

（1）证明：
；

（2）求二面角
的正弦值。



19．（本小题满分14分）

已知数列
的前n项和
满足
，且
．

（1）求数列
的通项公式；

（2）求数列
的前n项和
；

（3）证明：
．

20.（本小题满分14分）

已知直线
过椭圆
的一个焦点和一个顶点。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）. 点D在椭圆C上，且
，直线BD与轴交于点M，求常数
使得

21．（本小题满分14分）

??? 已知函数
?

（1）当a=0时，求函数
的单调区间；

?（2）当a=1时，设
，

（i）若对任意的
，
成立，求实数k的取值范围；?

? （ii）对任意
,证明：不等式
恒成立.

潮州市2014-2015学年度高考第二次模拟考试

数学(理科)参考答案及评分说明

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

B

B

A

B

A

D

D





解析：

5．
.

6.
,
，当
时，
，
,反之，若
，不一定有
，

7.由
共线，有2a+b=1有

.

8. 因为函数y=
为奇函数，所以
，由函数y=
的导函数
在R恒成立，知函数y=
为减函数，

即
，故
的最小值为0，最大值为直径
，

从而
的最小值为0，最大值为直径的平方8

二、填空题：

9.
； 10. 12π ； 11.
； 12.
； 13.
；

14.
； 15.

解析：

13.由图知
，
，设AC的横坐标分别为
.

设曲线段
与x轴所围成的区域的面积为
则

，

由几何概型知该点在△ABC内的概率为
.

三、解答题：

16．解：（1）
…3分

的最小正周期
……………………………………………4分

因为
，由题意知A=2, ……………………………5分

所以
……………………………6分

（2）

………8分

……………………………10分

…………………12分

17解:用A表示“乙在4局以内（含4局）赢得比赛”，
表示“第
局乙获胜”，
表示“第
局甲获胜”，则
………………1分

（Ⅰ）

…………………4分

（Ⅱ）
的可能取值为0,1,2,3 ……………………………5分

……………………………6分

……………7分

………………………9分

故
的分布列为

0

1

2

3
















……………………………12分

18.解：（Ⅰ）证明：题知四边形
为菱形，
为菱形中心，连结
，则
，

因
，故
……………………………1分

又因为
，且
，在
中

…3分

所以
，故
即
………………………4分

又顶点S在底面的射影是四边形ABCD的中心
有
，

所以
, ……………………………5分

从而
与平面SOM内两条相交直线OM,SO都垂直，所以
………6分

（Ⅰ）法二如图2，连结
，因
为菱形，则
，且
，

以
为坐标原点，
的方向分别为轴，轴，轴的正方向，

建立空间直角坐标系
， ……………………………2分

因
，故



所以
…3分

由
知，

从而
，即
…………………4分

题意及如图2知
,有
,

………………………5分

所以
……………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
,

设平面
的法向量为
，平面
的法向量为
…8分

由
得

故可取
………………………………………………9分

由
得

故可取
……………………………………………………11分

从而法向量
的夹角的余弦值为
……………13分

故所求二面角
的正弦值为
. ……………………………14分

19.解：（1）由
①得
②

②-①：有
…………………………2分

即
， …………………………4分

又
，由②有
知
………………5分

∴数列
是以6为首项，公比为3的等比数列，∴
…6分

（2）由（1）得：
， ……………………………7分

得
， …8分

证法一：由（2）得：由
……………………………9分

∵
………………………11分

∴
……………12分

………14分

证法二：

………………………12分

………………………14分

证法三：当
时，不等式显然成立，

当
时，令

…11分

……………………………12分

. …………14分

综上得命题得证.

证法四：令
下面用数学归纳法证明，

①当
时，结论显然成立 ……………………………9分

②假设当
时，结论成立，即
，

当
时，

左边=

所以当
时，结论也成立 ……………………………13分

综合①、②可知
即
对
都成立. …14分

20.解：（1）直线
过两点
………………………1分

因为椭圆
的焦点在x轴时，

故焦点为
，顶点为
………………………………………2分.

………………………………………