2015广东省高考压轴卷理科数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合
，集合
，
，则
＝

A．
B．
C．
D．

2．设为虚数单位，复数
+2，则的共轭复数为

A．
B．
C．
D．

3．已知向量a=(1,-1)则下列向量中与向量a平行且同向的是

A．（2,-2） B．（-2,2） C.（-1, 2） D．（2, -1）　 　

4．已知实数
满足不等式组
若z=x-y，则z的最大值为

A．3 B．4 C．5 D．6

5．抛物线
上到焦点的距离等于10的点的坐标为

A．(-8, 8) B．(8, 8)

C．(-8, -8) 或(8, -8) D． (-8, 8) 或(8, 8)

6．图1为某村1000户村民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在
的用户数为A1，用电量在
的用户数为A2，……，以此类推，用电量在
的用户数为A6，图2是统计图1中村民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s值为

A．820 B．720 C．620 D．520





7．已知正四棱锥底面边长为1高为2，俯视图是一个面积为1的正方形,则该正四棱锥的正视图的面积

不可能等于

A．2 B．2.5 C．
D．

8．若
，

被10除得的余数为

A．3 B．1 C．9 D．7

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．不等式
＞的解集是 .

10．
，在
处的切线与
垂直，则
的值是 .

11．已知四个学生和一个老师共5个人排队，那么老师排在中间的概率是 .

12．在
,内角
所对的边长分别为

且
,则
________．

13．在正项等比数列｛
｝中，

则
的最大值为 .

（二）选做题（14-15小题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系
中，直线
与 圆
为参数）相交，交点在第四象限，则交点的极坐标为 .

15．（几何证明选讲选做题）如图，圆
中AB=4为直径，，直线
与圆
相切于点
，
于点D，若
，
，则
=______．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知

（1）求
的值．

（2）若
为锐角，
，求
的值．

17．（本小题满分12分）

测量马口鱼性成熟时重量，从大量马口鱼中随机抽取100尾作为样本，测出它们的重量（单位：克），重量分组区间为
，
，
，
，由此得到重量样本的频率分布直方图，如图3．

（1）求的值；

（2）若重量在
，
中采用分层抽样方法抽出8尾作为特别实验，那么在
中需取出几尾？

（3）从大量马口鱼中机抽取
尾，其中重量在
内的尾数为
，求
的分布列和数学期望.

18. （本小题满分14分）

如图4,已知四棱锥
，底面
是正方形，
面
，

点
是
的中点，点
是
的中点,连接
,

.

(1) 若 PA=AB,求证：AN平面PBC

（2）若
,
，求二面角
的余弦值.

19. （本小题满分14分）

已知各项均为正数的数列
的前n项和为
，
，
-4n-1,
．

（1）求
的值；

（2）求数列
的通项公式；

（3）证明：
，有
<
．

20．（本小题满分14分）

若在平面直角坐标系中，已知动点M和两个定点
，
,且

求动点M轨迹
的方程；

设
为坐标原点，若点在轨迹
上，点在直线
上，且
，试判断直线
与圆
的位置关系，并说明理由．

21.（本小题满分14分）

已知函数
.

(1)若
，判断
的单调性．

(2)若
在
上为增函数,求实数的取值范围;

(3)当
时,方程
有实根,求实数

2015广东省高考压轴卷

数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题

1. 【答案】C

解析 由
，
则
=

2. 【答案】C

解析
+2=
+2=2+
所以z的共轭复数是

3.【答案】A

（解析 2,-2）=2（1，-1）所以选A

4. 【答案】A

解析作出不等式组
所对应的可行域变形目标函数y=x-z平移直线y=x-z可知，当直线经过点（3，0）时，z取最大值，代值计算可得z=x-y的最大值为35. 【答案】D

解析 可以化为x2=8y,的 准线方程为y=-2,所以根据抛物线的定义可知，所求的点的纵坐标为y=8，代入x2=8y,可以得x=8或x=-8,所求的点为（-8,8）或（8,8）

6. 【答案】A.

解析 由图2知，输出的
，由图1知
=180,故s=1000-180=820，选A.

7.【答案】D

解析 因为正视图最小值为他的一个侧面
，最大值为对角面
，所以正视图取值范围为
，而
不在范围内.

8. 【答案】B

解析 由
，可知
，所以

，

=
，

所以余数为1．

二．填空题

9. 【答案】

解析 原不等式等价于3x-1＞x或3x-1＜-x可得答案

10. 【答案】3

解析 导函数为y’=2x-k又在x=1处的切线与y=x+1垂直所以根据导数的几何意义有，2-k=-1

所以k=3

11. 【答案】

解析 因为5个人排法有5的全排列有120种，老师在中间其余4人在老师两边任意排，排法有4的全排列24种，老师中间的概率为

12. 【答案】45°

解析
根据正弦定理变式得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=
sinB, sinAcosC+cosAsinC=

Sin(A+C)=sin(180°-B)=sinB=
又
所以A﹥B所以B=45°

13．【答案】4

解析 由等比数列性质知
，

当
时取等号．

14．【答案】
或其他形式

解析 y=-x与圆
交点在第四象限的为（1，-1）转化为极坐标为
．

15．【答案】

解析 根据弦切角定理得，
与

相似，所以
，

在直角三角形ACD中可得
，
=

三．解答题

16. 解：（1）
=
---4分 （2）

+
所以
，
-1=

又
为锐角，所以
，
，所以

……………12分

17．解：(1)由题意，得
，

解得
. ……………2分

（2）
，
频数分别30个和18个，按分层抽样知
中取
3个……………4分

（3）利用样本估计总体，马口鱼重量在
内性成熟的概率为
，则
.

的取值为
， ……………6分

，
，

，
. ……………10分























 ∴
的分布列为：

--------------11分

∴
. ……………12分

（或者
）

18.解： （1）证明：
面
，
面
，∴

又
为正方形，
又
面
∴
面

面
，∴
，又PA=AB, 点
是
的中点, ∴
且
平面PBC∴AN平面PBC----------4分

（2）∵
，
面
，

∴
面
.

在Rt△
中，
,
，得
，

以点为原点，
所在直线为轴，
所在直线为轴，
所在直线为轴，

建立空间直角坐标系
， …………… 6分

则
.，
，

设平面
的法向量为
，

由
，
，

得

令
，得
，
.

∴
是平面
的一个法向量. …………… 11分

又
是平面
的一个法向量，

∴二面角
的余弦值为
. …………… 14分

19.解：（1）由
-4n-1得4
因为
﹥0，
，所以
，所以
据而可得
--------2分．

（2）
-4n-1-----（1）

当
，
-----（2）

由（1）-（2）得
即

因为
﹥0，所以

又
，所以数列
是首项为1，公差为2的等差数列，

所以
=
.-----------8分（或用数学归纳法）

（3）
所以

<

-------------14分．

20解：（1）由题意知：

所以，由椭圆的定义可知：动点
运动的轨迹是: 以
，
为焦点，长轴长为4，焦距为
的椭圆，且短半轴长为

所以轨迹
的方程为
-----4分

（2）直线
与圆
相切．

证明如下：设点
，
，显然其中
,

因为
，，所以
，即
，所以

直线
的斜率不存在时，即
时，
，代入椭圆方程可得：

，解得：
，

此时直线
的方程为
或
，显然与圆
相切.

②当直线
的斜率存在，即
时，直线
的方程为：

，即
……(9分)

此时，圆心
到直线
的距离

又因为
，

所以

=
=

=
，所以，直线
与圆
相切．

综上，直线
与圆
相切．……(14分)

21.解:（1）若
则

所以当
时,
,
当
﹥0得
或

当
0时得
，所以
的单调增区间为
，减区间为
．------3分．

(2)因为
在区间为
上增函数,

所以
在区
上恒成立

当
时,
在
上恒成立,所以
在
上为增函数,故
符合题意

当
时,由函数
的定义域可知,必须有
对
恒成立,故只能
,

所以
在恒成立

令
,其对称轴为
,

因为
所以
,从而
在
上恒成立,只要
即可,

因为

解得

因为
,所以.

综上所述,的取值范围为
----------8分

(3)若
时,方程
可化为
.

问题转化为
在
上有解,

即求函数
的值域

因为
,令
,

则
,

所以当
时
,从而
在
上为增函数,

当
时
,从而
在
上为减函数,

因此
.

而
,故
,

因此当
时,
取得最大值0 -----14分．