2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）

2015.4

参考公式：球的表面积公式
，其中是球的半径．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“若
，则
”的逆否命题是

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

2．已知
，则下列不等关系式中正确的是

A．
B．
C．
D．

3．已知函数
则

A．
B．
C． D．

4．函数

的图象的一部分如图1所示，

则此函数的解析式为

A．
B．

C．
D．

5．已知函数
，若在区间
上任取一个实数
，则使
成立的概率为

A．
B．
C．
D．

6．如图2，圆锥的底面直径
，母线长
，点
在母线
上，且
，

有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点到达点
，则这只蚂蚁爬行的最短距离是

A．
B．

C．
D．

7．已知两定点
，
，若直线
上存在点
，使得
，则称直线
为“
型直线”．给出下列直线：①
；②
；③
；④
；⑤
．其中是“
型直线”的条数为

A．1 B．2 C．3 D．4

8．设
是函数
的图象上一点，向量
，
，且
.数列

是公差不为0的等差数列，且
，则

A.0 B.9 C.18 D.36

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．已知为虚数单位，复数
，则
．

10．执行如图3所示的程序框图，则输出的的值是 ．

11．已知
，若

，则
．

12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用数字作答）．

13．在边长为1的正方形
中，以为起点，其余顶点为终点的向量分别为
，
，
；以
为起点，其余顶点为终点的向量分别为
，
，
．若为
的最小值，其中
，
，则
．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）

如图4，在平行四边形
中，
，点为边
的中点，

与
的延长线交于点，且
平分
，作
，

垂足为
，若
，则
的长为 ．

15．（坐标系与参数方程选做题）

在平面直角坐标系中，已知曲线
和
的方程分别为
（为参数）和
（为参数），则曲线
和
的交点有 个．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知△
的三边，
，所对的角分别为，，
，且
．

（1）求
的值；

（2）若△
的面积为
，求△
外接圆半径的大小．

17．（本小题满分12分）

某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了份，统计结果如下面的图表所示．

组号

年龄

分组

答对全卷

的人数

答对全卷的人数

占本组的概率



1

[20,30)

28





2

[30,40)

27

0.9



3

[40,50)

5

0.5



4

[50,60]



0.4



（1）分别求出，
，，的值；

（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记
为第3组被授予“环保之星”的人数，求
的分布列与数学期望．

18．（本小题满分14分）

如图5，已知六棱柱
的侧棱

垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，
，
分别

是棱
，
上的点，且
．

（1）证明：
，
，
，四点共面；

（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．

19．（本小题满分14分）

已知点

在直线
：
上，
是直线
与轴的交点，数列
是公差为1的等差数列．

（1）求数列
，
的通项公式；

（2）求证：
．

20．（本小题满分14分）

已知圆心在轴上的圆
过点
和
，圆的方程为
．

（1）求圆
的方程；

（2）由圆上的动点向圆
作两条切线分别交轴于，两点，求
的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知函数

，
（其中为自然对数的底数）．

（1）若函数
在区间
内是增函数，求实数的取值范围；

（2）当
时，函数
的图象
上有两点
，
，过点，
作图象
的切线分别记为
，
，设
与
的交点为
，证明
．

2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

D

A

A

B

B

C

C





二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．

题号

9

10

11

12

13

14

15



答案

1

32



30











16．（本小题满分12分）

解：（1）因为
，

所以可设
，
，

，…………………………………………………………2分

由余弦定理得，

…………………………………………………………3分

．………………………………………………………………………………………………4分

（2）由（1）知，
，

因为是△
的内角，

所以

．………………………………………………………………………6分

由（1）知
，
，

因为△
的面积为
，所以
，……………………………………………8分

即
，

解得
．…………………………………………………………………………………………10分

由正弦定理
，即
，…………………………………………………11分

解得
．

所以△
外接圆半径的大小为
．…………………………………………………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（1）根据频率直方分布图，得
，

解得
．……………………………………………………………………………………………1分

第3组人数为
，所以
．…………………………………………………2分

第1组人数为
，所以
．……………………………………………3分

第4组人数为
，所以
．……………………………………………4分

（2）因为第3，4组答对全卷的人的比为
，

所以第3，4组应依次抽取2人，4人.…………………………………………………………………5分

依题意
的取值为0，1，2．……………………………………………………………………………6分

，…………………………………………………………………………………7分

，………………………………………………………………………………8分

，………………………………………………………………………………9分

所以
的分布列为：

0

1

2













 所以
． ………………………………………………………………12分

18．（本小题满分14分）

第（1）问用几何法，第（2）问用向量法：

（1）证明：连接
，
，
，
，

在四边形
中，
且
，

在四边形
中，
且
，

所以
且
，

所以四边形
是平行四边形．

所以
．………………………………2分

在△
中，
，
，

所以
，

所以
．…………………………………………………………………………………………4分

所以
．

所以
，
，
，四点共面．………………………………………………………………………6分

（2）解：以点为坐标原点，
，
，
所在的直线

分别为轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，

则
，
，
，