肇庆市中小学教学质量评估2015届高中毕业班第三次统一检测题

数学（文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.

注意事项：

1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试

室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将准考证号涂黑.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域

内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.

参考公式：锥体的体积公式
，其中S为锥体的底面积，
为锥体的高.

列联表随机变量
.
与k对应值表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.01



k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635





一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1．已知集合A={-1，0，1}，B={1，2}，则A∪B=

A．{1} B．{0，1} C．{-1，0，2} D．{-1，0，1，2}

2．设为虚数单位，则复数
对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知向量
，
，则

A．（3，7） B．（3，9） C．（5，7） D．（5，9）

4．设
，则函数
的零点位于区间

A．（2，3） B．（1，2） C．（0，1） D．（-1，0）

5．在(ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=

A．
B．
C．
D．

6．执行如下图的程序框图，则输出的值P=

A．12 B．10 C．8 D．6

7．某几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积是

A．
B．
C．
D．

8．设等比数列
的前n项和为
，若
，则下列式子中数值不能确定的是

A．
　　 　B．
　　　 C．
　 　　D．

9．过抛物线
的焦点F的直线交该抛物线于点A. 若|AF|=3，则点A的坐标为

A．（2，
） B．（2，
） C．（2，
） D．（1，(2）

10．对于非空集合A、B，定义运算：
. 已知
，
，其中a、b、c、d满足
，
，则

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.

（一）必做题（11～13题）

11．如右图是某高三学生进入高中三年来第1次至14次的数学考试

成绩茎叶图，根据茎叶图计算数据的中位数是 ▲ .

12．函数
的定义域 ▲ .

13．已知(为不等式组
所表示的平面区域，E为圆
（
）及其内部所表示的平面区域，若“点
”是“
”的充分条件，则区域E的面积的最小值为 ▲ .

（ ）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系
中，点（1，0）关于直

线
对称的点的极坐标是 ▲ .

15．（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，且AB=6，

CD是弦，BA、CD的延长线交于点P，PA=4，PD=5，

则∠COD= ▲ .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）求函数
的最小正周期；

（2）若
，
，求
的值．

17．（本小题满分12分）

某校高一年级有四个班，其中一、二班为数学课改班，三、四班为数学非课改班. 在期末考试中，课改班与非课改班的数学成绩优秀与非优秀人数统计如下表.

优秀

非优秀

总计



课改班



50





非课改班

20



110



合计





210



（1）请完成上面的2(2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与课改

有关”；

（2）若采用分层抽样的方法从课改班的学生中随机抽取4人，则数学成绩优秀和数学成

绩非优秀抽取的人数分别是多少？

（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求两人数学成绩都优秀的概率.

18．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，PD(底面ABCD，PD=AD，E为PC的中点，F为PB上一点，且EF(PB.

（1）证明：PA//平面EDB；

（2）证明：AC(DF；

（3）求三棱锥B—ADF的体积.

19．（本小题满分14分）

已知数列{
}满足：
，
（
）；数列{
}满足：
（
）.

（1）求数列{
}的通项公式及其前n项和
；

（?）证明：数列{
}中的任意三项不可能成等差数列.

20．（本小题满分14分）

已知直线l：
与双曲线C：
（
）相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）.

（1）求双曲线C的离心率；

（2）设双曲线C的右顶点为A，右焦点为F，
，试判断△ABD是否

为直角三角形，并说明理由.

21．（本小题满分14分）

已知函数
.

（1）讨论
的单调区间；

（2）若函数
在[
，3]上有三个零点，求实数m的取值范围；

（3）设函数
（e为自然对数的底数），如果对任意的

，都有
恒成立，求实数n的取值范围.

肇庆市2015届高中毕业班第三次统测数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

A

C

B

C

B

A

D

C

D





二、填空题

11．94.5 12．
13．
14．
15．

三、解答题

16．（本小题满分12分）

解：（1）
（2分）

（4分）

（5分）

所以函数
的最小正周期
. （6分）

（2）由（1）得
，

（7分）

由
，得
. （8分）

因为
，所以
. （9分）

所以
，
， （11分）

所以
. （12分）

17．（本小题满分12分）

解：（1）

优秀

非优秀

总计



课改班

50

50

100



非课改班

20

90

110



合计

70

140

210



 （2分）

， （5分）

所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩与课改有关. （6分）

（2）数学成绩优秀抽取的人数
（人）， （7分）

数学成绩非优秀抽取的人数
（人）. （8分）

（3）由（2）知，数学成绩优秀抽取的人数为2人，设为
、
；数学成绩非优秀抽取的人数为2人，设为
、
；则所有基本事件有：（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
），（
，
）共6种. （10分）

其中满足条件的基本事件有：（
，
）共1种， （11分）

所以两人数学成绩都优秀的概率
. （12分）

18．（本小题满分14分）

证明：（1）连接AC交BD于点G，连接EG. （1分）

因为四边形ABCD是正方形，所以点G是AC的中点，（2分）

又因为E为PC的中点，因此EG//PA. （3分）

而EG(平面EDB，所以PA//平面EDB. （4分）

（2）因为四边形ABCD是正方形，所以AC(BD. （5分）

因为PD(底面ABCD，AC(底面ABCD，所以AC(PD. （6分）

而PD∩BD=D，所以AC(平面PBD. （7分）

又DF(平面PBD，所以AC(DF. （8分）

（3）过点F作FH//PD，交BD于H.

因为PD(底面ABCD，FH//PD，所以FH(底面ABCD. （9分）

由题意，可得
，
，
.

由Rt(PFE∽Rt(PCF，得
，
. （10分）

由Rt (BFH∽Rt (BPD，得
，
. （11分）

所以
， （13分）

所以
，即三棱锥B—ADF的体积为
. （14分）

19．（本小题满分14分）

解：（1）由
，得
. （2分）

因为
，所以
.

因此数列{
}是以
为首项，
为公比的等比数列. （3分）

所以
，即
（
）. （5分）

所以
（6分）

（
）. （8分）

（2）由（1），得
. （9分）

下面用反证法证明：数列{
}中的任意三项不可能成等差数列.

假设数列{
}中存在三项
（
）按某种顺序成等差数列，由于数列{
}是首项为
，公比为
的等比数列，于是有
，则只能有
成立.（11分）

所以
，

两边同乘
，化简得
. （13分）

因为
，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾. 故数列{
}中的任意三项不可能成等差数列. （14分）

20．（本小题满分14分）

解：（1）设
，
）.

把
代入
，并整理得
，（1分）

则
，
. （2分）

由M（1，3）为BD的中点，得
，即
， （3分）

故
， （4分）

所以C的离心率为
. （5分）

（2）由（1），得C的方程为
，
，
，

，
，故不妨设
，
， （6分）

， （7分）

， （8分）

（9分）

又
，所以
，

解得
或
（舍去）. （10分）

所以
，
，
. （11分）

，
， （12分）

， （13分）

所以
，即△ABD是为直角三角形. （14分）

21．（本小题满分14分）

解：（1）
的定义域为R，
. （1分）

因为当
或
时，
；当
时，
； （2分）

所以
的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）.（3分）

（2）法1：

由（1）知，
在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减；

所以
在
处取得极大值
，在
处取得极小值
.

（5分）

因为
在[
，3]上有三个零点，所以有：
， （7分）

即
，解得
，故实数m的取值范围为
. （8分）

法2：要函数
在[
，3]上有