潮州市2014-2015学年度高考第二次模拟考试数学(文科)

参考公式：球的表面积

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．

1．若复数
是纯虚数(是虚数单位，是实数)，则等于（ ）

A. -1 B.
C.2 D. 3

2．从匀速传递的新产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件新产品进行某项指标检

测，这样的抽样是（ ）

A．系统抽样 B．分层抽样 C．简单随机抽样 D．随机数法

3．在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定的平面的个数有（ ）

A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

4．已知数列
的前n项和
，则
的值为（ ）

A.
B. C.
D.

5. 在
中，若
，则
的形状是（ ）

A．钝角三角形 B．直角三角形

C．锐角三角形 D．不能确定

6．若将一个质点随机投入下图所示的长方形ABCD中，

其中AB＝2BC＝4，则质点落在以AB为直径的半圆

内的概率是(　　)

A. B. C. D.

7．执行右边的程序框图，若输出
，则输入
（ ）

A.6 B. 7 C.8 D.9

8．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆
的圆心的抛物线的方程是（ ）

A．
或
B．

C．
或
D．
或

9．已知
，
，
三点共线，其中
，则
的最大值是（ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知奇函数
的导函数
在R恒成立，且
满足不等式

，则
的取值范围是(　　)

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11－13题）

11．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，

可得该几何体的表面积是________.

12．已知
，

则
．

13．函数
定义域为D，若满足：①
在D内是单调函数；②存在
使
在

上的值域为
；那么就称
为“域倍函数”。

若函数
是“域倍函数”，则的取值范围为 .

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程
，

直线的极坐标方程为
，则圆心到

直线距离为 ．

15．（几何证明选讲选做题）如图所示，⊙
的两条切线
和
相交于点，与⊙
相切于
两点，
是⊙
上的一点，若
，则
________。

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数
，
的最大值为2．

（1）求及
的值；

（2）设
，
，
，求
的值．

17．（本小题满分12分）

为调查学生每周平均体育运动时间的情况，某校收集到高三（1）班20位学生的样本数据（单位:小时），将他们的每周平均体育运动时间分为6组：[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

（1）根据频率分布直方图，求出该班学生的每周

平均体育运动时间的平均数的估计值；

（2）若在该班每周平均体育运动时间低于4小时

的学生中任意抽取2人，求抽取到运动时间

低于2小时的学生的概率。

18．（本小题满分14分）

如图1，平面五边形SABCD中

，
沿AD折起成.如图2，使顶点S在底面的射影是四边形ABCD的中心
，
为
上一点，
.

（1）证明：
；

（2）求四棱锥
的体积



19．（本小题满分14分）

已知数列
的前n项和
满足
，且
．

（1）求
的值；

（2）求数列
的通项公式；

（3）设
，证明：

20.（本小题满分14分）

已知直线
过椭圆
的一个焦点和一个顶点。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）. 点D在椭圆C

上，且
，直线BD与轴交于点M，求常数
使得

21．（本小题满分14分）

已知函数
，其中a＞0.????

（1）?若函数
在
上有极大值0，求a的值；

（2）?讨论并求出函数
在区间
上的最大值；

（3）在（2）的条件下设
，对任意
?,

证明：不等式
恒成立.

潮州市2014-2015学年度高考第二次模拟考试

数学(文科)参考答案及评分说明

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

C

A

C

B

A

B

B

D

D

A





部分题解析：

7．
.

8．圆心为
，设
；设
选D.

9.由
共线，有
，所以
，

即
，从而

10. 因为函数y=
为奇函数，所以
，由函数y=
的导函数
在R恒成立，知函数y=
为减函数，

即
，故
的最小值为0，最大值为直径

二、填空题：

11. 12π ； 12. 1 ； 13.
； 14.
； 15.

解析：

11. 由三视图可得几何体的直观图上面是半径为1的球，下面是一个底面半径为1，高为3的

圆柱，表面积S＝S球＋S圆柱＝4π·12＋2π·1·3＋π·1·2＝12π，

12. 由
分别平方后相减得

13. .题有函数
是增函数，由“域倍函数”定义有
，

即方程
有两个不同实根，即方程
有两个不同

正实根

14．由

，

，∴
．

15．连接
，则
.故
，∴
.

三、解答题：

16、解：因为函数
，
的最大值为2，

所以A＝2， …………………………………………………2分

所以
…………………………………………………3分

的最小正周期
…………………4分

（2）
…………………5分

…6分

…………………8分

…………………9分

…………………10分

……………12分

17（1）解：根据频率分布直方图，

各组的频率分别为：0.05，0.2，0.3，0.25，0.15，0.05 ……………………2分

各组的中点分别为：1，3，5，7，9，11 ……………………4分

该班学生的每周平均体育运动时间的平均数的估计值为

…………………6分

（2）依题意可知，

平均运动时间低于4小时的学生中，在[0,2)的人数有
，记为1，

在[2,4)的人数有
，记为2，3，4，5 …………………8分

从这5人中随机抽取2人的可能情况有10种，分别为：

（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）； ……10分

其中，抽取到运动时间低于2小时的学生的可能情况有4种，分别为：

（1,2），（1,3），（1,4），（1,5）； ………………………………11分

故所求概率
……………………………………………………12分

18.解：（1）证明：因为四边形
为菱形，
为菱形中心，连结
，

则
， ……………………………………………………1分

因
，故
…………………………2分

又因为
，且
，在
中

……4分

所以
，故
，即
……………………5分

又顶点S在底面的射影是四边形ABCD的中心
，有
，

所以
, ………………………6分

从而
与平面SOM内两条相交直线OM,SO都垂直，所以
………7分

（2）解：由（Ⅰ）可知，

由题意及如图2知由
底面
,
…………………9分

所以
…………………………10分

此时

…12分

所以四棱锥
的体积
………14分

19.解：（1）当
时，
，
……………………2分

（2）由
①，得
②

①－②：得
……………………4分

即
， ……………………6分

又
，
，所以
……………………7分

∴数列
是以6为首项，公比为3的等比数列，∴
…………8分

（3）由（2）得：
， ……………………9分

故
， ………………11分

……………………………………………………………12分

. ………………………………………14分.

20.解：（1）直线
过两点
………………………1分

因为椭圆
的焦点在x轴时，

故焦点为
，顶点为
………………………………………2分.

………………………………………3分.

………………………………………4分.

所以，所求椭圆C的方程为
………………………………………5分

（2）设
，则
，直线AB的斜率
，…6分

又
，所以直线AD的斜率
， …………………………………7分

设直线AD的方程为
，由题意知
， ………………………8分

由
，可得
.

所以
， …………………………………………9分

因此
，

由题意知，
，所以
， ……………………………11分

所以直线BD的方程为
，

令
，得
，即