肇庆市中小学教学质量评估2015届高中毕业班第三次统一检测题

数学（理科）

本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.

注意事项：

1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试

室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔将准考证号涂黑.

2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域

内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.

参考公式：锥体的体积公式
，其中S为锥体的底面积，
为锥体的高.

列联表随机变量
.
与k对应值表：

0.15

0.10

0.05

0.025

0.01



k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635





一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设为虚数单位，则复数
对应的点位于

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知向量
，
，则

A．（3，7） B．（3，9） C．（5，7） D．（5，9）

3．在(ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=

A．
B．
C．
D．

4．执行如下图的程序框图，则输出的值P=

A．12 B．10 C．8 D．6

5．某几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积是

A．
B．
C．
D．

6．设等比数列
的前n项和为
，若
，则下列式子中数值不能确定的是

A．
　　 　B．
　　　 C．
　 　　D．

7．过抛物线
的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点. 若|AF|=3，则(AOB的面积为

A．
B．
C．
D．

8．对于非空集合A、B，定义运算：
. 已知
，
，其中a、b、c、d满足
，
，则

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.

（一）必做题（9～13题）

9．如右图是某高三学生进入高中三年来第1次至14次的数学考试

成绩茎叶图，根据茎叶图计算数据的中位数是 ▲ .

10．函数
的定义域 ▲ .

11．不等式
的解集为 ▲ .

12．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋

友1本，则不同的赠送方法共有 ▲ 种（用数字作答）.

13．已知(为不等式组
所表示的平面区域，E为圆
（
）及其内部所表示的平面区域，若“点
”是“
”的充分条件，则区域E的面积的最小值为 ▲ .

（ ）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系
中，点（1，0）关于直

线
对称的点的极坐标是 ▲ .

15．（几何证明选讲选做题）如图，AB是圆O的直径，且AB=6，

CD是弦，BA、CD的延长线交于点P，PA=4，PD=5，

则∠COD= ▲ .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知函数
．

（1）求函数
的最小正周期；

（2）若
，
，求
的值．

17．（本小题满分12分）

某校高一年级有四个班，其中一、二班为数学课改班，三、四班为数学非课改班. 在期末考试中，课改班与非课改班的数学成绩优秀与非优秀人数统计如下表.

优秀

非优秀

总计



课改班



50





非课改班

20



110



合计





210



（1）请完成上面的2(2列联表，并判断若按99%的可靠性要求，能否认为“成绩与课改

有关”；

（2）把全部210人进行编号，从编号中有放回抽取4次，每次抽取1个，记被抽取的4

人中的优秀人数为(，若每次抽取的结果是相互独立的，求(的分布列及数学期望E(.

18．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，PD(底面ABCD，PD=AD，E为PC的中点，F为PB上一点，且EF(PB.

（1）证明：PA//平面EDB；

（2）证明：AC(DF；

（3）求平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值.

19．（本小题满分14分）

已知数列{
}满足：
，
（
）；数列{
}满足：
（
）.

（1）求数列{
}的通项公式及其前n项和
；

（?）证明：数列{
}中的任意三项不可能成等差数列.

20．（本小题满分14分）

已知直线l：
与双曲线C：
（
）相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3）.

（1）求双曲线C的离心率；

（2）设双曲线C的右顶点为A，右焦点为F，
，试判断△ABD是否为

直角三角形，并说明理由.

21．（本小题满分14分）

已知函数
（
），
.

（1）讨论
的单调区间；

（2）是否存在
时，对于任意的
，都有
恒成立？若

存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.

肇庆市2015届高中毕业班第三次统测数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

C

B

B

A

D

C

D





二、填空题

9．94.5 10．
11.
12. 10

13．
14．
15．

三、解答题

16．（本小题满分12分）

解：（1）
（2分）

（4分）

（5分）

所以函数
的最小正周期
. （6分）

（2）由（1）得
，

（7分）

由
，得
. （8分）

因为
，所以
. （9分）

所以
，
， （11分）

所以
. （12分）

17．（本小题满分12分）

解：（1）

优秀

非优秀

总计



课改班

50

50

100



非课改班

20

90

110



合计

70

140

210



 （2分）

， （5分）

所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩与课改有关. （6分）

（2）随机变量(的所有取值为0，1，2，3，4. （7分）

由于是有放回的抽取，所以可知每次抽取中抽到优秀的概率为
， （8分）

；

；

；

；

.

所以(的分布列为：

(

0

1

2

3

4



P













 （10分）

. （12分）

18．（本小题满分14分）

证明：（1）连接AC交BD于点G，连接EG. （1分）

因为四边形ABCD是正方形，所以点G是AC的中点，（2分）

又因为E为PC的中点，，因此EG//PA. （3分）

而EG(平面EDB，所以PA//平面EDB. （4分）

（2）因为四边形ABCD是正方形，所以AC(BD. （5分）

因为PD(底面ABCD，AC(底面ABCD，所以AC(PD. （6分）

而PD∩BD=D，所以AC(平面PBD. （7分）

又DF(平面PBD，所以AC(DF. （8分）

（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则有
，
，
，
，
，所以
. （9分）

设
，则
，
.

由EF(PB，得
，即
，即
，

故
. （10分）

设平面DEF的一个法向量
，
，
，

由
，得
，解得
，取
. （11分）

又
是底面ABCD的一个法向量， （12分）

所以
， （13分）

故平面ABCD和平面DEF所成二面角的余弦值为
. （14分）

19．（本小题满分14分）

解：（1）由
，得
. （2分）

因为
，所以
.

因此数列{
}是以
为首项，
为公比的等比数列. （3分）

所以
，即
（
）. （5分）

所以
（6分）

（
）. （8分）

（2）由（1），得
. （9分）

下面用反证法证明：数列{
}中的任意三项不可能成等差数列.

假设数列{
}中存在三项
（
）按某种顺序成等差数列，由于数列{
}是首项为
，公比为
的等比数列，于是有
，则只能有
成立.（11分）

所以
，

两边同乘
，化简得
. （13分）

因为
，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾. 故数列{
}中的任意三项不可能成等差数列. （14分）

20．（本小题满分14分）

解：（1）设
，
）.

把
代入
，并整理得
，（1分）

则
，
. （2分）

由M（1，3）为BD的中点，得
，即
， （3分）

故
， （4分）

所以C的离心率为
. （5分）

（2）由（1），得C的方程为
，
，
，

，
，故不妨设
，
， （6分）

， （7分）

， （8分）

（9分）

又
，所以
，

解得
或
（舍去）. （10分）

所以
，
，
. （11分）

，
， （12分）

， （13分）

所以
，即△ABD是为直角三角形. （14分）

21．（本小题满分14分）

解：（1）函数
的定义域为（0，+∞）.

， （1分）

①当
时，令
，解得
.

当
时，
；当
时，
；

所以
的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； （2分）

②当
时，令
，解得
，
.

当
时，当
时，
；当
时，
；所以
的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）； （3分）

当
时，当
时，
；当
时，
；当