沂水一中12月份学情调查考试数学（理）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷两部分。共150分，考试时间120分钟。

第I卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知全集
，集合
，
，则
为（ ）

A.
B.
C.
D.

2．给出如下四个命题：

①若“且”为假命题，则、均为假命题；

②命题“若
，则
”的否命题为“若
，则
”；

③“
”的否定是“
”；

④在△
中，“
”是“
”的充要条件.其中不正确的命题的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

3. 下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是 （ ）

A.①② B.②③ C.②④ D.①③

4. 已知向量

若
，则
的最小值为（ ）

A．2 B．4 C．
D．

5. 已知双曲线

的一个焦点与抛物线
的焦点重合，则此双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

6. 已知变量
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为（ ）

A．32 B．4 C．8 D．2

7. 已知数列
满足
，
，
，若数列
满足
，则
（ ）

A.
B．
C．
D.

8. 已知
的外接圆半径为1，圆心为O，且
，则
的值为

A
B
C
D

9. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
且
，则△ABC的面积为（ ）

A.
B.
C.
D.

10. 定义域为R的函数
满足
，当
时，
则当
时，函数
恒成立，则实数的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分．

11、已知向量a
，若向量
与
垂直，则
的值为__________

12.在平面直角坐标系
中，圆C的方程为
，若直线
上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是__________

13. 若函数
在点
处的切线为
，则直线
与轴的交点坐标为_________.

14. 已知
（为自然对数的底数），函数
，则
__________.

15. 对于函数
和

，下列说法正确的是 .

（1）函数
的图像关于直线
对称；

（2）

的图像关于直线
对称；

（3）两函数的图像一共有10个交点；

（4）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于30；

（5）两函数图像的所有交点的横坐标之和等于24.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16.（本小题满分12分）

已知函数
，其图象过点

（1）求的值；

（2）将函数
图象上各点向左平移
个单位长度，得到函数
的图象，求函数
在
上的单调递增区间.

17 (本小题满分12分)

已知函数

（Ⅰ）当a＝0时，写出不等式f（x）2的解集；

（Ⅱ）若不等式f（x）
对一切实数x恒成立时，求实数的取值范围。

18. （本小题满分12分）在等差数列
中，
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）若数列
满足
（
），则是否存在这样的实数
使得
为等比数列；

（3）数列
满足
为数列
的前n项和，求
.

19. （本小题满分12分）如图1， 在直角梯形
中，
，
，
，
为线段
的中点. 将
沿
折起，使平面
平面
，得到几何体
，如图2所示.

（1）求证:
平面
；

（2）求二面角
的余弦值.

20．（本小题满分13分）

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为
，其中一个顶点是抛物线x2=
的焦点．

（I）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）是否存在过点P（2，1）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B满足
·
，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明埋由

21. （本小题满分14分）已知函数
，
（其中
）.

（1）求
的单调区间；

（2）若函数
在区间
上为增函数，求的取值范围；

（3）设函数
，当
时，若存在
，对任意的
，总有
成立，求实数的取值范围.

参考答案

一．DCCCC BDA BB

11.
12.
13.
； 14. 7； 15.（2）（3）（4）；

16. 解：（1）

……3分

又函数图象过点
，所以
，即

又
，所以
……6分

（2）由（1）知
，将函数
图象上各点向左平移
个单位长度后，得到函数
的图象，可知
.……9分

因为
，所以
，由
和
知函数
在
上的单调递增区间为
和
.……12分

17．解：（Ⅰ）当a=0时，求得
　　　（2分）

　（5分）　∴不等式的解集是
（6分）

（Ⅱ）∵
，当且仅当
，取等号　（9分）　要使不等式f（x）
恒成立，
　　（12分）

18. 解：（1）因为
是一个等差数列，所以
.

设数列
的公差为
，则
，故
；故
.……6分

（2）
.

假设存在这样的
使得
为等比数列，则
，即
，

整理可得
. 即存在
使得
为等比数列.……7分（

3）∵
，

∴
……9分

. ……12分

19. 解析：（1）在图1中， 可得
， 从而
，

故
.

取
中点
连结
， 则
， 又面
面
，

面

面

，
面
， 从而
平面
.

∴
，又
，
.

∴
平面
.

（2）建立空间直角坐标系
如图所示，

则
，
，
，
，

.

设
为面
的法向量，则
即
， 解得
. 令
， 可得
.

又
为面
的一个法向量，∴
.

∴二面角
的余弦值为
.

21. 解：（1）
，
，

，故
.

当
时，
；当
时，
.

的单调增区间为
，单调减区间为
.……3分

（2）
，则
，由题意可知
在
上恒成立，即
在
上恒成立，因函数
开口向上，且对称轴为
，故
在
上单调递增，因此只需使
，解得
；

易知当
时，
且不恒为0.

故
.……7分

（3）当
时，
，
，故在
上
，即函数
在
上单调递增，
.……9分

而“存在
，对任意的
，总有
成立”等价于“
在
上的最大值不小于
在
上的最大值”.

而
在
上的最大值为
中的最大者，记为
.

所以有
，