成都市2015届高中毕业班第一次诊断性检测数学试题（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设全集
，集合
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

2．若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是

（A） （B） （C） （D）

3．已知复数
（是虚数单位），则下列说法正确的是

（A）复数的虚部为
（B）复数的虚部为

（C）复数的共轭复数为
（D）复数的模为

4．函数
的图象大致为

（A） （B） （C） （D）

5．已知命题：“若
，则
”，则下列说法正确的是

（A）命题的逆命题是“若
，则
”

（B）命题的逆命题是“若
，则
”

（C）命题的否命题是“若
，则
”

（D）命题的否命题是“若
，则
”

6．若关于的方程
在区间
上有实数根，则实数的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

7．已知是椭圆
（
）的左焦点，为右顶点，是椭圆上一点，
轴.若
，则该椭圆的离心率是

（A）
（B）
（C）
（D）

8．已知，是两条不同直线，，
是两个不同的平面，且
，

，则下列叙述正确的是

（A）若
，则
（B）若
，则

（C）若
，则
（D）若
，则

9．若
，
，且
，
，则
的值是

（A）
（B）
（C）
或
（D）
或

10．如图，已知正方体
棱长为4，点在棱
上，且
．在侧面
内作边长为1的正方形
，是侧面
内一动点，且点到平面
距离等于线段
的长.则当点运动时，
的最小值是

（A）

（B）

（C）

（D）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．若非零向量，
满足
，则，
的夹角的大小为__________．

12．二项式
的展开式中含
的项的系数是__________．（用数字作答）

13．在
中，内角
的对边分别为
，若
，
，
，则
的面积
__________．

14．已知定义在R上的奇函数
，当
时，
．若关于的不等式
的解集为，函数
在
上的值域为，若“
”是“
”的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________．

15．已知曲线
：
在点

（
）处的切线
的斜率为
，直线
交轴，轴分别于点
，
，且
．给出以下结论：

①
；

②当
时，
的最小值为
；

③当
时，
；

④当
时，记数列
的前项和为
，则
．

其中，正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

口袋中装有除颜色，编号不同外，其余完全相同的2个红球，4个黑球．现从中同时取出3个球．

（Ⅰ）求恰有一个黑球的概率；

（Ⅱ）记取出红球的个数为随机变量
，求
的分布列和数学期望
．

17．（本小题满分12分）

如图，
为正三角形，
平面
，
，为
的中点，
，
．

（Ⅰ）求证：

平面
；

（Ⅱ）求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值．

18．（本小题满分12分）

已知数列
的前项和为
，且
；数列
满足
，
.
．

（Ⅰ）求数列
，
的通项公式；

（Ⅱ）记
，
．求数列
的前项和
．

19．（本小题满分12分）

某大型企业一天中不同时刻的用电量（单位：万千瓦时）关于时间（
，单位：小时）的函数
近似地满足
，下图是该企业一天中在0点至12点时间段用电量与时间的大致图象．

（Ⅰ）根据图象，求，，，的值；

（Ⅱ）若某日的供电量
（万千瓦时）与时间（小时）近似满足函数关系式
（
）．当该日内供电量小于该企业的用电量时，企业就必须停产．请用二分法计算该企业当日停产的大致时刻（精确度0.1）.

参考数据:

（时）

10

11

12

11.5

11.25

11.75

11.625

11.6875




（万千瓦时）

2．25

2.433

2.5

2.48

2.462

2.496

2.490

2.493




（万千瓦时）

5

3.5

2

2.75

3. 125

2.375

2.563

2.469





20．（本小题满分13分）

已知椭圆：
（
）的右焦点为
，且椭圆上一点
到其两焦点
的距离之和为
．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设直线
与椭圆交于不同两点，，且
．若点
满足
，求
的值．

21．（本小题满分14分）

已知函数
，
，其中
且
．
为自然对数的底数．

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间和极小值；

（Ⅱ）当
时，若函数
存在
三个零点，且
，试证明：

；

（Ⅲ）是否存在负数，对
，
，都有
成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

数学（理科）参考答案及评分意见

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）

1．A； 2．C； 3．D；4．A；5．C；6．B；7．B；8．D；9．A；10．B．

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）

11．
12．
13．
14.
15．①③④

三、解答题：（本大题共6个小题,共75分）

16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）记“恰有一个黑球”为事件A，则

．……………………………………………………………4分

（Ⅱ）
的可能取值为
，则

……………………………………………………………2分

………………………………………………………2分

………………………………………………………………2分

∴
的分布列为





















∴
的数学期望
．…………………………………2分

17．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：作
的中点
，连结
．

在
中，

，又据题意知，

．

∴

，∴四边形
为平行四边形．

∴
，又
平面
，
平面
．

∴
平面
．……………………………………4分

（Ⅱ）∵

，∴
平面
．

在正
中，
，∴
三线两两垂直．

分别以
为
轴，建系如图．

则
，
，
．

∴
，
．

设平面
的一个法向量为
，

则
，即
，令
，则
．

∴平面
的一个法向量为
．

又平面
的一个法向量为
．

∴
．

∴平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值
．…………………………8分

18.（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵
(

当
时，
(

((得，
，即