山东省实验中学2015届高三第四次诊断性考试

数学（理）试题

说明：试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试题答案请用2B铅笔或0．5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷 （共50分）

一、选择题（本题包括1 0小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项符合题意）．

1．复数z满足zi =1+2i，则复数z在复平面内所对应的点的坐标是

A．（1，－2） B．（2，－1） C．（1,2） D．（2,1）

2．若集合P={y|y≥0}，P
Q=Q，则集合Q不可能是

A．{y | y=1n x，x>0} B．{ y|y=3－x，x∈R} C．{y|y=x2，x∈R } D．

3．右图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是

A． 51 B． 58

C．61 D．62

4．设{an}为等差数列，公差d= -2，Sn为其前n项和，若S7 = S16 ,则 al =

A． 18 B． 20

C．22 D． 24

5．下面框图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是

A．k=7 B．k
6 C．k<6 D．k>6

6．如果不等式|x－t|<1成立的必要条件是1

A．[2，3] B．
C．
D．（2，3）

7．若抛物线y2 =2px（p>0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和8，则P的值为

A．4 B．16 C．4或16 D．4或8

8．在二项式
的展开式中，含x4的项的系数是（ ）

A．10 B．-10 C．5 D．-5

9．已知关于x的方程|x2－2x|=a（a>0）的解集为P，则P中所有元素的和可能是

A．1,2,3 B．2,3,4 C．3,4,5 D．2,3,5

10．正三角形ABC边长为 1，P为其内部（不含边界）的任意点，设
，则在平面直角坐标系内点（x，y）对应区域的面积为

A．1 B．
C．
D．

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本大题共5个小题；每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡指定横线上）．

11．随机变量x服从正态分布N（2，
2）（
为标准差），若P（l≤x≤3）=0．618，则P（X≤3）=

；

12．由直线y=x与曲线y=x3所围成的封闭图形的面积是 ；

13．已知函数y= sin（
x+
）（
>0，0<
<
）为偶函数，其图象与直线y=1的两个不同交点的横坐标为xl，x2，若| x1－x2 |=k
，（k∈N*），则
×
的值为 ；

14．如图，一个简单凸多面体的三视图的外轮廓是三个边长为l的正方形，则

此多面体的体积为____；

15．若关于实数x的方程3ax2+2bx+1－a－b=0（a，b∈R）的两根可以作为一椭圆和一双曲线的离心率，则a+b的取值范围是 。

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

16．（本小题满分12分）；已知函数f（x）=sin x－cos x，
（x）是f（x）的导函数．

（I）求函数g（x）=f（x）
（x）－f2（x）的最大值和最小正周期；

（II）若f（x）=2
（x），求
的值．

17．（本小题满分12分）对于给定数列{an}，如果存在实常数p,q，使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{an}是“M类数列”．

（I）已知数列{bn}是“M类数列”且bn= 3n 求它对应的实常数p,q的值；

（II）若数列{cn}满足c1=-l，cn - cn+l =2n（n∈Nz*），求数列{cn}的通项公式．判断{cn}是否为“M类数列’’并说明理由．

18．（本小题满分12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD与DBFE均为菱形，∠DAB=∠DBF=60o，且FA=FC．

（I）求证：AC⊥平面BDEF；

（fI）求二面角A－FC－B的余弦值．

19．（本小题满分12分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为
．现从中不放同地取球，每次取1球，赢到将袋中的白球取完即终止．每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用
表示取球终止所需要的取球次数．

（I）求袋中原有白球的个数；

（Ⅱ）求随机变量
的概率分布列及期望E
．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆E：
=1（a>b>0）经过点P
，离心率为
。

（I）求椭圆E的标准方程：．

（II）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=2相交于点Q．试探究：在x轴上是否存在点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）已知函数f（x）=x2+aln（x +1）（a∈R）．

（I）当a=-4时，求f（x）的单调区间；

（II）当t≥1时，不等式f（t-1）≥l－t2恒成立，求实数a的取值范围：

（Ⅲ）若F（x）=f（x）+ln
有两个极值点x1，x2，且x1
。

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