山东省实验中学2015届第四次诊断性考试

数学（文）试题

说明：试题分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。试题答案请用2B铅笔或0．5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效．考试时间120分钟．

第I卷 （共50分）

一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个选项符合题意）

1．设复数z=（3－4i）（1+2i）（i是虚数单位），则复数z的虚部为

A．-2 B．2 C．-2i D．2i

2．已知全集U=R，集合A={x | x2 -x-6≤0}，B={x|
>0}，那么集合A
(CU B）=

A．{x|-2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4} C．{x|-2≤x≤0} D．{x|0≤x≤3}

3．下列有关命题的叙述错误的是

A．若
p是q的必要条件，则p是
q的允分条件

B．若p且q为假命题，则p，q均为假命题

C．命题“
∈R，x2－x>0”的否定是“
x∈R，x2－x <0”

D．“x>2”是“
”的充分不必要条件

4．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为

A．
B．
C．
D．

5．设
=（1，-2），
=（a，－1），
=（－b，0），a>0，b>0，O为坐标原点．若A，B，C三点共线，则
的最小值是

A．2 B．4 C．6 D．8

6．函数f（x）=
的图象可能是

7．已知等差数列{an}共有2n-1项，则其奇数项之和与偶数项之和的比为

A．
B．
C．
D．

8．已知函数f（x）=2 sin（
），则f（1）+f（2）+…+f（2015）的值为

A．l B．1
C．
D．0

9．已知圆的方程为x2+y2－6x－8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为

A．
B．
C．
D．

10．若函数y=|x2 +4x -3 |的图像C与直线y=kx相交于点M（2,1），那么曲线C与该直线的交点的个数为

A．1 B．2 C．3 D．4

第II卷（非选择题，共100分）

二、填空题（本题包括5小题，共25分）

1l．为了均衡教育资源，加大对偏远地区的教育投入，调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年教育支出y（单位：万元），调查显示年收入x与年教育支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：
=0．15x+0．2。由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，，年教育支出平均增加 万元．

12．若在区域
内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2 =1内

的概率为 。

13．如图在程序框图中，若输入n=6， 则输出k的值是____ 。

14．已知抛物线C: y2=4x及直线l：x－y+4=0;户是抛物线C上的动点，记尸到抛物线C准线的距离为d1，P到直线的距离为d2，则dl+d2的最小值为 。

15．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得取x定义域内的每一个值，都有f（x）=-f（2a－x），则称f（x）为准奇函数．给出下列函数①f（x）=（x－1）2，②f（x）=
，③ f（x）=x3，

④f（x）=cosx，其中所有准奇函数的序号是 。

三、解答题（本题包括6小题，共75分）

16．（本小题满分12分）

已知函数，f（x）=Asin（cox+
）（其中x∈R，A>0，
>0）的最大值为2，最小正周期为8．

（I）求函数f（x）的解析式及单调递增区间：

（II）若函数f（x）图象上的两点P，Q的横坐标依次为2．4，O为坐标原点，求△POQ的面积。

17．（本小题满分12分）

为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候午时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：

（I）求这15名乘客的平均候车时间；

（II）估讦这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数：

（III）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率。

18．（本小题满分12分）

如图，ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED =l，EF∥BD，且EF =
BD．

（I）求证:BF∥平面ACE；

（II）求证：平面EAC⊥平面BDEF;

（III）求几何体ABCDEF的体积。

19．（本小题满分12分）

已知公差不为零的等差数列{an}，满足 al+a3+a5 =12，且a1，a5，a17成等比数列．

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）若bn=
, 数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn－n<
．

20．（本小题满分13分）

已知函数f（x）=x2+ ax - lnx，a∈R．

（I）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；

（II）令g（x）=f（x）－x2，是否存在实数a，当x∈
（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知椭圆C：
=1（a>b>0）的离心率为e=
，过焦点且垂直于长轴的弦长为
．

（I）求椭圆C的方程：

（II）斜率为k的真线l经过椭圆C的右焦点F且与椭圆交于不同的两点A，B设

∈（-2，-1），求直线l斜率k的取值范围．

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