3．等式
成立是
成等差数列的( )条件

A.充分而不必要　 B.必要而不充分

C.充分必要 D.既不充分又不必要

4 函数
对任意都有
则
等于( )

A 或
B
或 C
D
或

5．若当
时，函数
始终满足
，则函数
的图象大致为（ ）

6．已知
是周期为2的奇函数，当
时，
设

则( )

A.
　　 　B.
　　C.
　　　D.

7．一个几何体的三视图如图示，则这个几何体的体积为( )

A．
B．

C．
D．

8.已知
，
是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量
满足
,则
的最大值是 ( )

A.1 B.2 C.
D.

9.若
则
（ ）

A.
B.
C.
D.1

10．数列
是正项等比数列，
是等差数列，且
，则有 ( )

A．
????? B．
?????

C．
??????? D．
与
大小不确定

11.设
，又K是一个常数。已知当K<0或K>4时，
只有一个实根；当0

A．
和
有一个相同的实根

B．
和
有一个相同的实根

C．
的任一实根大于
的任一实根

D．
的任一实根小于
的任一实根。 其中错误的命题的个数是（ ）

A．4 B.3 C.2 D.1

12.已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为
，这两条曲线在第一象限的交点为,
是以
为底边的等腰三角形。若
，椭圆与双曲线的离心率分别为
，则
的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.顶点在原点，经过圆
的圆心且准线与轴垂直的抛物线方程为 .

14.设
满足约束条件：
；则
的取值范围 。

15.已知直线
与圆
交于
两点，
是坐标原点，向量
满

，则实数的值是 。

16.已知函数
（
为自然对数的底数）的图像与直线
的交点为
，函数

的图像与直线
的交点为
，
恰好是点
到函

数

图像上任意一点的线段长的最小值，则实数的值是 。

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分) 在
中，角
所对的边分别为
.
，
．

（Ⅰ）求角
的大小；

（Ⅱ）若
最大边的边长为
，求最小边的边长及
的面积．

18.(本小题满分12分)已知数列
的前项和为
，且满足
，
（
且
）．

（Ⅰ）求证：数列
是等差数列； （Ⅱ）求
和
.

19.(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.

（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；

（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.

20. (本小题满分12分) 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为
，且经过点
.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在过点
的直线
与椭圆C相交于不同的两点
，满足
?若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由.

（21）.（本小题满分12分）已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在
处的切线方程；

（Ⅱ）设函数
，求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若在
上存在一点
，使得
＜
成立，求的取值范围．

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如

果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方

框涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直

线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连结MC，

MB，OT．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，试求
的大小．

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线
经过点
，倾斜角
，圆C的极坐标方程为

(Ⅰ)写出直线
的参数方程，并把圆
的方程化为直角坐标方程；

(Ⅱ)设
与圆
相交于两点
，求点到
两点的距离之积.

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

对于任意的实数
和
，不等式
恒成立，记实数
的最大值是。

(Ⅰ)求m的值；

(Ⅱ)解不等式


．

【答案】（1）
（2）
．

【解析】试题解析：（1）
，

．………………………2分

又
，…………………………………………………4分

．…………………………………………………6分

【答案】（1）详见解析；（2）
；
.

【解析】试题解析：（１）证明：当
时，
，①……… 2分

由上式知若
，则

，由递推关系知
，

∴由①式可得：当
时，
……………………………………………4分

∴
是等差数列，其中首项为
，公差为.………………………… 6分

（2）
，
. ……………………………8分

当
时，
， ………………………………… 10分

当
时，
不适合上式，

∴
…………………………………… 12分

（19）(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.

（Ⅰ）证明：AC⊥B1D；

（Ⅱ）求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.

方法一　(1)证明　如图，因为BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以AC⊥BB1. ………………………………3分

又AC⊥BD，所以AC⊥平面BB1D，………………………………5分

而B1D?平面BB1D，所以AC⊥B1D. ………………………………6分

(2)解　因为B1C1∥AD，所以直线B1C1与平面ACD1所成的角等于直线AD与平面ACD1所成的角(记为θ). ………………………………7分

如图，连接A1D，因为棱柱ABCD－A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1＝∠BAD＝90°，

所以A1B1⊥平面ADD1A1，从而A1B1⊥AD1.又AD＝AA1＝3，所以四边形ADD1A1是正方形.于是A1D⊥AD1，故AD1⊥平面A1B1D，于是AD1⊥B1D.

由(1)知，AC⊥B1D，所以B1D⊥平面ACD1.故∠ADB1＝90°－θ，在直角梯形ABCD中，

因为AC⊥BD，所以∠BAC＝∠ADB.从而Rt△ABC∽Rt△DAB，故＝，

即AB＝＝. ………………………………8分

连接AB1，易知△AB1D是直角三角形，且B1D2＝BB＋BD2＝BB＋AB2＋AD2＝21，即B1D＝.在Rt△AB1D中，cos∠ADB1＝＝＝，………………………………10分

即cos(90°－θ)＝.从而sin θ＝.

即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.…………………………………………12分

方法二　(1)证明　易知，AB，AD，AA1两两垂直.如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. ………………………………7分

设AB＝t，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t,0,3)， C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3).

从而＝(－t,3，－3)，＝(t,1,0)，＝(－t,3,0).

因为AC⊥BD，所以·＝－t2＋3＋0＝0，解得t＝或t＝－(舍去).

于是＝(－，3，－3)，＝(，1,0)，

因为·＝－3＋3＋0＝0， 所以⊥，即AC⊥B1D.

(2)解　由(1)知，＝(0,3,3)，＝(，1,0)，＝(0,1,0).

设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则，即

令x＝1，则n＝(1，－，).设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ，则

sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.

即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.………………………12分

（20）. (本小题满分12分) 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆C的离心率为
，且经过点
.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点
的直线
与椭圆C相交于不同的两点
，满足
？若存在，求出直线
的方程；若不存在，请说明理由.

解　(1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，………………………………… 2分

由题意得 ………………………………… 4分

解得a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为＋＝1. ………………………………… 6分

(2)假设存在直线l1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y＝k1(x－2)＋1，

代入椭圆C的方程得，(3＋4k)x2－8k1(2k1－1)x＋16k－16k1－8＝0.……………………… 7分

因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，

设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]2－4(3＋4k)·(16k－16k1－8)＝32(6k1＋3)>0，所以k1>－. …8分

又x1＋x2＝，x1x2＝，………………………………… 9分

因为·＝2，

即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝，所以(x1－2)(x2－2)(1＋k)＝2＝.

即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k)＝.

所以[－2·＋4]·(1＋k)＝＝，………………………………… 10分

解得k1＝±.因为k1>－，所以k1＝.于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝x. …12分

（21）.（本小题满分12分）已知函数
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在
处的切线方程；

（Ⅱ）设函数
，求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若在
上存在一点
，使得
＜
成立，求的取值范围．

【答案】试题解析：（Ⅰ）
的定义域为
，

当
时，
，
，……………………………2分

，
,切点
，斜率

∴曲线
在点
处的切线方程为
………………………………… 4分

（Ⅱ）
，

…………………………5分

①当