东城区2014-2015学年第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合
，
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）在复平面内，复数
对应的点位于

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

（3）设
，则“
”是“
”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

（4）设等差数列
的前项和为
，若
，则
等于

（A）
（B）

（C）
（D）

（5）当
时，执行如图所示的程序框图，

输出的
值为

（A）

（B）

（C）

（D）

（6）已知函数
若
，则实数的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

（7）在空间直角坐标系
中，一个四面体的顶点坐标为分别为
，
，
，
．画该四面体三视图中的正视图时，以
平面为投影面，则得到正视图可以为

（A） （B） （C） （D）

（8）已知圆
，直线
，点
在直线
上．若存在圆
上的点
，使得
（
为坐标原点），则
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若抛物线
的焦点到其准线的距离为，则该抛物线的方程为

．

（10）若实数
满足
则
的最大值为_______．

（11）在△
中，
，
，
，则
；△
的面积为

_______．

（12）已知向量，
不共线，若（
）∥（
），则实数
_______．

（13）已知函数
是上的奇函数，且
为偶函数．若
，

则
．

（14）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
为正方形,

，
，
分别为线段
上的点．若
，则三棱锥

体积的最小值为 .

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

已知函数
部分图象如图所示．

（Ⅰ）求
的最小正周期及解析式；

（Ⅱ）将函数
的图象向右平移
个单位长度得到函数
的图象，求函数
在区间
上的最大值和最小值．

（16）（本小题共13分）

已知数列
是等差数列，满足
，
，数列
是公比为
等比数列，且
．

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前项和
．

（17）（本小题共14分）

如图，
平面
，
，
，
为
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段
上存在点，使得
，并求
的值．

（18）（本小题共14分）

已知函数
，
，其中
．

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）当
时，求
的单调区间；

（Ⅲ）若存在
，使得不等式
成立，求的取值范围．

（19）（本小题共13分）

已知椭圆
的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设是椭圆
长轴上的一个动点，过作斜率为
的直线
交椭圆
于，两点，求证：
为定值．

（20）（本小题共13分）

对于数列
，定义“变换”：将数列变换成数列
，其中
，且
.继续对数列进行“变换”，得到数列
，依此类推，当得到的数列各项均为
时变换结束.

（Ⅰ）试问数列
经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；

（Ⅱ）设数列
，对数列进行“变换”，得到数列
，若数列的各项之和为
，求，
的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若数列再经过
次“变换”得到的数列各项之和最小，求
的最小值，并说明理由.