测试卷 数学(理科)

姓名______________ 准考证号______________

本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共5页, 选择题部分1至3页, 非选择题部分4至5页。满分150分, 考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共50分)

注意事项:

1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

参考公式：

如果事件A，B互斥，那么

P (A＋B)＝P (A)＋P (B)

如果事件A，B相互独立，那么

P (A·B)＝P (A)·P (B)

如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n

次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率

台体的体积公式

其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积，h表示台体的高

柱体的体积公式

V＝Sh

其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高

锥体的体积公式

V＝
Sh

其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高

球的表面积公式

S＝4πR2

球的体积公式

其中R表示球的半径



一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1. 设集合S＝{x|3＜x≤6}，T＝{x|x2－4x－5≤0}，则 ＝

A．(－∞，3]∪(6，＋∞) B．(－∞，3]∪(5，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) D．(－∞，－1)∪(5，＋∞)

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若公差d＜0，且|a7|＝|a8|，则使Sn＞0的最大正整数n是

A．12 B．13 C．14 D．15

3．已知整数x，y满足
设z＝x－3y，则

A．z的最大值为1 B．z的最小值为1

C．z的最大值为2 D．z的最小值为2

4．某几何体的立体图如图所示，该几何体的三视图不可能是

A． B． C． D．

5．现有90 kg货物需要装成5箱，要求每一箱所装货物的重量不超过其它任一箱所装货物重量的2倍．若某箱所装货物的重量为x kg，则x的取值范围是

A．10≤x≤18 B．10≤x≤30 C．18≤x≤30 D．15≤x≤30

6．设点D，E分别在△ABC的边BC，AC上，线段AD，BE相交于点F，则“F为△ABC的重心”是“
＝
＝2”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知函数f (x)＝x＋ln (
＋x)，g(x)＝
则

A．f (x)是奇函数，g(x)是奇函数 B．f (x)是偶函数，g(x)是偶函数

C．f (x)是奇函数，g(x)是偶函数 D．f (x)是偶函数，g(x)是奇函数

8．在△ABC中，已知∠BAC的平分线交BC于点M，且BM : MC＝2 : 3．若∠AMB＝60°，则
＝

A．2 B．
C．
D．3

9．设A，B，C为全集R的子集，定义A－B＝A∩( B)．

A．若A∩BA∩C，则BC B．若A∩BA∩C，则A∩(B－C)＝

C．若A－BA－C，则BC D．若A－BA－C，则A∩(B－C)＝

10．设动点A，B均在双曲线C：
(a＞0，b＞0)的右支上，点O为坐标原点，双曲线C的离心率为e．

A．若e＞
，则
存在最大值 B．若1＜e≤
，则
存在最大值

C．若e＞
，则
存在最小值 D．若1＜e≤
，则
存在最小值

非选择题部分 (共100分)

注意事项:

1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上, 不能答在试题卷上。

2.在答题纸上作图, 可先使用2B铅笔, 确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。

11．已知为实数，直线
，
，若
，则

12．已知等比数列{an}，a2＋a3＝
，a4＋a5＝6，则a8＋a9＝ ．

13．已知实数a，b满足a3－b3＝4，a2＋a b＋b2＋a－b＝4，则a－b＝ ．

14．已知

，则
的最小值为 ．

15．已知单位向量a，b的夹角为
．设单位向量c＝λ a＋μ b (λ＞0，μ∈R)，若c⊥a，则有序数对 (λ，μ) ＝ ．

16．已知函数
的图像，则图像的对称中心坐标为 ．

17．已知线段OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝1，OC＝2．若线段OA，OB，OC在直线OP上的射影长相等，则其射影长为 ．

三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18． (本题满分14分) 已知函数f (x)＝4 sin
cos (
＋
)＋
(x∈ R，ω＞0)的最小正周期为4π．

(Ⅰ) 求函数f (x)的最大值；

(Ⅱ) 若α∈(0，
)，且f (α－
)＝
，求f (α)的值．

19． (本题满分14分) 在△ABC中，内角A，B，C满足4 sin Asin C－2 cos (A－C)＝1．

(Ⅰ) 求角B的大小；

(Ⅱ) 求sin A＋2 sin C的取值范围．

20．(本题满分15分) 在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD＝60o，PA＝PD＝3，PD⊥CD．E为AB中点．

(Ⅰ) 证明：PE⊥CD；

(Ⅱ) 求二面角C－PE－D的正切值．

21．(本题满分15分) 如图，设椭圆
(a＞b＞0)的右

焦点为F(1，0)，A为椭圆的上顶点，椭圆上的点到右焦点的最短距离为
-1．过F作椭圆的弦PQ，直线AP，AQ分别交直线x－y－2＝0于点M，N．

(Ⅰ) 求椭圆的方程；

(Ⅱ) 求当|MN|最小时直线PQ的方程．

22．(本题满分14分)如图，已知曲线C：y＝x2 (0≤x≤1)，O(0，0)，Q(1，0)，R(1，1)．取线段OQ的中点A1，过A1作x轴的垂线交曲线C于P1，过P1作y 轴的垂线交RQ于B1，记a1为矩形A1P1B1Q的面积．分别取线段OA1，P1B1的中点A2，A3，过A2，A3分别作x轴的垂线交曲线C于P2，P3，过P2，P3分别作y 轴的垂线交A1P1，RB1于B2，B3，记a2为两个矩形A2P2B2 A1与矩形A3P3B3B1的面积之和．

以此类推，记an为2n－1个矩形面积之和，从而得数列{an}，设这个数列的前n项和为Sn．

(Ｉ) 求a2与an；

(Ⅱ) 求Sn，并证明Sn＜
．

测试卷答案及评分参考

数学（理科）

说明:

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后续部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。

五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分。

一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

1．B 2．B 3．D 4．C 5．B

6．C 7．C 8．C 9．B 10．D

二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。

11．5 　　　 　 12．96 13．2 　　　　14．2

15．(
，－
) 16．
17．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．本题主要考查诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、三角函数的性质等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

(Ⅰ) 因为

f (x)＝4sin
(
cos
-
sin
)＋

= sin ω x -
(1－cos ω x)＋

= 2 sin (ω x＋
)．

又f (x)的最小正周期为4π，令
＝4π，得ω＝
．

所以f (x)＝2 sin (
x＋
)，其最大值为2． ………… 7分

(Ⅱ) 由于f (α－
)＝
，即2 sin (
＋
)＝
，而α∈(0，
)，可知

cos (
＋
)＝
，

所以

f (α)＝2 sin (
＋
)

＝2 sin (
＋
) cos
＋2 cos (
＋
) sin

＝
． ………… 14分

19．本题主要考查三角变换、三角函数值域等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

(Ⅰ)因为

4 sin A sin C－2 cos (A－C)＝4 sin A sin C－2 cos A cos C＋2 sin A sin C

＝－2 (cos A cos C－sin A sin C)，

所以－2 cos (A＋C)＝1，故

cos B＝
．

又0＜B＜π，所以

B＝
． ………… 6分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知C＝
－A，故

sin A＋2 sin C＝2 sin A＋
cos A＝
sin (A＋θ)，

其中0＜θ＜
，且sin θ＝
，cos θ＝
．

由0＜A＜
知，θ＜A＋θ＜
＋θ，故

＜sin (A＋θ)≤1．

所以sin A＋2 sin C∈(
，
]． ………… 14分

20．本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力、推理论证和运算求解能力。满分15分。

(Ⅰ) 在菱形ABCD中，因为∠BAD＝60o，E为AB的中点，可得

DE⊥CD，

又因为PD⊥CD，所以

CD⊥平面PDE，

因此

PE⊥CD． ………… 5分

(Ⅱ)

方法一：

过D作DH⊥PE，垂足为H，连结CH．由CD⊥平面PDE，得

CH⊥PE，

所以∠CHD是二面角C-PE-D的平面角．

由PE⊥CD，AB∥CD，可得

PE⊥AB，

由E为AB中点，PA＝3，所以PE＝2
．

在△PDE中，由余弦定理得cos∠DPE＝
，故sin∠DPE＝
，所以

DH＝
．

在Rt△CHD中，可得tan∠CHD＝
＝
．

所以，二面角C－PE－D的正切值为
． ………… 15分

方法二：

以D为原点，DE，DC所在射线分别为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系D－xyz．可知

D(0，0，0)， C(0，2，0)， E(
，0，0)，

B(
，1，0)， A (
，－1，0)，

设P(a，0，c)．因为PA＝PD＝3， 即

解得P(
，0，
)．

设平面CPE的法向量为m＝(x，y，z)，由
可取

m＝(
，
，2)，

又平面DPE的一个法向量为n＝(0，1，0)，于是

|cos|＝
＝
．

所以

|tan|＝
．

因为二面角C－PE－D是锐角，所以二面角C－PE－D的正切值为
．

………… 15分

21．本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。

(Ⅰ) 由题意知，c＝1，a－c＝
－1，所以椭圆方程为

＋y2＝1． ………… 4分

(Ⅱ) 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ：x－my－1＝0，由

消去x，得

(m2＋2)y2＋2my－1＝0，

所以

设点M，N的坐标分别为(xM，yM)，(xN，yN)．

因为直线AP的方程为y－1＝
x，由

得

xM＝
．

同理可得

xN＝
．

所以，

|MN|＝

＝12
．

记m－7＝t，则

|MN|＝12
，

当
＝－
，即m＝－
时，|MN|取最小值．

所以，当|MN|取最小值时PQ的方程为

y＝－7x＋7． ………… 15分

22．本题主要考查等比数列的概念与求和公式、不等式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

(Ｉ) 由题意知

P1(
，
)，

故

a1＝
×
＝
．

又

P2(
，
)，　P3(
，
)，

故

a2＝
×[
＋
－
]＝
×(12＋32－?2)＝
．

由题意，对任意的k＝1，2，3，…，n，有

(
，
)，　i＝0，1，2，…，2k－1－1，

故

an＝
×[
＋
－
＋
－
＋…＋
－
]

＝
×[12＋32－?2＋52－?2＋…＋(2n－1)2－(2n－2)2]

＝
×{1＋(4×1＋1)＋(4×2＋1)＋…＋[4×(2n－1－1)＋1]}

＝
×

＝
．

所以

a2＝
，　an＝
，　n∈N*． ………… 10分

(Ⅱ) 由(Ｉ)知

an＝
，　n∈N*，

故

Sn＝
－
＝
－
＝
．

又对任意的n∈N*，有

＞0，

所以

Sn＝
?
＜
．