2015年高中毕业年级第一次质量预测

文科数学 参考答案

一、选择题

1-12: CAAD ACCB BDDB

二、填空题

13.96；14.50；15.
；16.2,3,4.

三、解答题

17．解：(1).由
得

………… 4分

由
，得
. 故
．………6分

(2).设
，

由余弦定理得
，………8分

解得
，……10分

故
……………………12分

18.解：用
（表示甲摸到的数字，表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
共25个； …………………4分

(1).设：甲获胜的的事件为A，则事件A包含的基本事件有：
、
、
、
、
、
、
、
、
、
，共有10个；…………………6分

则
.…………………8分

(2).设：甲获胜的的事件为B，乙获胜的的事件为C. 事件B所包含的基本事件有：
、
、
、
、
、
、
、
、
、
，共有10个；

则
，…………………10分

所以
. …………………11分

因为
，所以这样规定不公平. ……………………12分

19.解：(1).连结
交
于
，连结
，因为
，
为
的中点，所以
为
的中点．…………………2分

当
为
的中点，即
时，
为
的中位线，

故
，又
平面
，所以
平面
.…………………5分

(2).由(1)可知，
平面
，所以点到平面
的距离等于点到平面
的距离，所以
，

取
的中点，连结
，所以
，
，…………7分

又
底面
，所以
底面
.

又
，
，所以
，
，
…………………10分

所以

.
…………………11分

则点到平面
的距离
=
…………………12分

20.解：(1).设点
，由题意可得，
，…………………2分

整理可得：
.曲线的方程是
.…………………5分

(2).设
，
，由已知可得：
，当
时，不合题意.

当
时，由直线
与圆
相切，可得：
，即

联立
消去得
…………………7分

，

所以，

=
=
……10分

当且仅当
，即
时等号成立，此时

经检验可知，直线
和直线
符合题意. ………………12分

21.解：（1）

当
时，
在
上恒成立；…………………2分

当
时，在
时，
，当
时，

所以，当
时，
的减区间为(0,+)；…………………4分

当
时，
的减区间为
，增区间为
. …………………6分

（2）设
为函数
图像上一点，则函数
在点处的切线方程为：

即：
.…………………8分

令

，

则
，因为

所以，当
时，
，当
时，

即函数
在
上为减函数，在
上为增，

所以，
…………………10分

那么，当
时，
；

当
时，

因此，函数
在
不存在“平衡点”. …………………12分

22．证明：(1)因为
，所以
.

由于
为切线，故
，…………………2分

又因为
，所以
，

所以
，

从而
.…………………4分

又
所以
，所以
，

故
为圆的直径．…………………5分

(2)连接BC，DC.

由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.

在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，

于是∠DAB＝∠CBA. …………………7分

又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB. ………………8分

因为AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角，…………………9分

所以ED为直径，又由(1)知AB为圆的直径，所以
.…………………10分

23.解：(Ⅰ)圆
的普通方程为
，即
………2分

所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为
；…………………5分

(Ⅱ)直线
的普通方程：
，圆心到直线
的距离

，…………………7分

所以

点直线
距离的最大值为
…………………9分

.…………………10分

24.解：（Ⅰ）当
时，
………………………3分

由
易得不等式解集为
；………………………5分

（2）由二次函数
，该函数在
取得最小值2，

因为
在
处取得最大值
，…………………7分

所以要使二次函数
与函数
的图象恒有公共点，只需
，

即
.……………………………10分