测试卷

选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．设集合S＝{x|3＜x≤6}，T＝{x|x2－4x－5≤0}，则S∪T＝

A．[－1，6] 　　　　　　B．(3，5]

C．(－∞，－1)∪(6，＋∞) 　　D．(－∞，3]∪(5，＋∞)

2．已知△ABC和△DEF，则“△ABC与△DEF全等”是“△ABC和△DEF 面积相等”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．设α为平面，m，n为直线．

A．若m，n与α所成角相等，则m∥n 　　 B．若m∥α，n∥α，则m∥n

C．若m，n与α所成角互余，则m⊥n D．若m∥α，n⊥α，则m⊥n

4．已知a，b∈R，且a2＞b2．

A．若b＜0，则a＞b B．若b＞0，则a＜b

C．若a＞b，则a＞0 　　 D．若b＞a，则b＞0

5．某几何体的立体图如图所示，该几何体的三视图不可能是

A． B． C． D．

6．若函数y＝sin 2x的图象向左平移
个单位得到y＝f (x)的图象，则

A．f (x)＝cos 2x B．f (x)＝sin 2x

C．f (x)＝－cos 2x D．f (x)＝－sin 2x

7．现有90 kg货物需要装成5箱，要求每一箱所装货物的重量不超过其它任一箱所装货物重量的2倍．若某箱所装货物的重量为x kg，则x的取值范围是

A．10≤x≤18 B．10≤x≤30 C．18≤x≤30 D．15≤x≤30

8．已知函数f (x)＝x＋ln (
＋x)，g(x)＝
则

A．f (x)是奇函数，g(x)是奇函数 B．f (x)是偶函数，g(x)是偶函数

C．f (x)是奇函数，g(x)是偶函数 D．f (x)是偶函数，g(x)是奇函数

9．在△ABC中，已知∠BAC的平分线交BC于点M，且BM : MC＝2 : 3．若∠AMB＝60°，则
＝

A．2 B．
C．
D．3

10．设A，B，C为全集R的子集，定义A－B＝A∩( B)．

A．若A∩BA∩C，则BC B．若A∩BA∩C，则A∩(B－C)＝

C．若A－BA－C，则BC D．若A－BA－C，则A∩(B－C)＝

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分。

11．已知a，b∈R，若4a＝23－2b，则a＋b＝________．

12．圆心为
且与直线
相切的圆的方程是 ．

13．已知实数a，b满足a3－b3＝4，a2＋a b＋b2＋a－b＝4，

则a－b＝ ．

14．实数x，y满足
则3x＋4y的最大值是 ．

15．设F1，F2是双曲线的两个焦点．若此双曲线上存在点P满足|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．

16．已知单位向量a，b的夹角为
．设单位向量c＝λ a＋μ b (λ＞0，μ∈R)，若c⊥a，则有序数对 (λ，μ) ＝ ．

17．若实数a，b，c满足2a＋b＝4，且a b＋c＝5，则a b c的最大值是 ．

(代入换元)

三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．(本题满分14分) 已知0≤φ＜π，函数f (x)＝
cos (2x＋φ)＋sin 2 x．

(Ⅰ) 若φ＝
，求f (x)的值域；

(Ⅱ) 若f (x)的最大值是
，求φ的值．

19．(本题满分14分) 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a cos C＋c＝2b．

(Ⅰ) 求角A的大小；

(Ⅱ) 若a2＝3bc，求tan B的值．

20. (本题满分15分) 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2 (n∈N*)．设数列{
}的前n项和为Tn．

(Ⅰ) 求Tn；

(Ⅱ) 求正整数m，n (m≠n)，使得T1，Tm，Tn成等比数列．

21．(本题满分15分) 设平面ABCD⊥平面ABEF，AB∥CD，AB∥EF，∠BAF＝∠ABC＝90°，BC＝CD＝AF＝EF＝1，AB＝2．

(Ⅰ) 证明：CE∥平面ADF；

(Ⅱ) 求直线DF与平面BDE所成角的正弦值．

22．(本题满分14分) 设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点(
，0)的动直线交抛物线于不同两点P，Q，线段PQ中点为M，射线MF与抛物线交于点A．

(Ⅰ) 求点M的轨迹方程；

(Ⅱ) 设直线PQ的斜率为
,用
表示△APQ的面积．

测试卷答案及评分参考

数学 (文科)

说明:

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力, 并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同, 可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。

二、对计算题, 当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后续部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分。

三、解答右端所注分数, 表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。

五、未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分。

一、选择题: 本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

1．A 2．A 3．D 4．C 5．C

6．A 7．B 8．C 9．C 10．B

二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。

11．
12．
13．2 14．-7

15．(1，2] 16．(
，－
) 17．6

三、解答题：本大题共5小题，共72分。

18．本题主要考查两角和差公式、二倍角公式、三角函数性质等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

(Ⅰ) 由题意

f (x)＝
cos 2x－
sin 2x＋

＝
cos (2x＋
)＋
，

所以，函数f (x)的值域为 [0，1]． ………… 6分

(Ⅱ) 由题意

f (x)＝(
cos φ－
) cos 2x－
sin φ sin 2x＋
，

由于函数f (x)的最大值为
，即

(
cos φ－
)2＋(
sin φ)2＝1，

从而cos φ＝0，又0≤φ＜π，故

φ＝
． ………… 14分

19．本题主要考查正、余弦定理、三角变换，同时考查运算求解能力。满分14分。

(Ⅰ) 由题意及正弦定理得

2 sin A cos C＋sin C＝2 sin B

＝2 sin (A＋C)

＝2 (sin A cos C＋cos A sin C)，

即sin C (2 cos A－1)＝0．因为sin C≠0，所以cos A＝
，从而得

A＝
． ………… 6分

(Ⅱ) 由A＝
及余弦定理得

b2＋c2－bc＝a2＝3bc，

即 b2＋c2－4bc＝0，

所以

＝2±
．

当
＝2＋
时，

又

sin C＝sin (
－B)＝
cos B＋
sin B，

故

＝
＝
＝
，

所以

tanB＝－2－
．

当
＝2－
时，同理得

tan B＝2－
．

综上所述，tan B＝2＋
或2－
．　　　　　　　　　　 　………… 14分

20.本题主要考查等差数列、等比数列的概念、通项公式、求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力。满分15分。

(Ⅰ) 当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝2n－1．又a1＝S1＝1，故an= 2n－1 (n∈N*)．所以

＝
．

Tn＝
＝
． ………… 5分

(Ⅱ) Tn＝
＝
(n∈N*)，所以{Tn}是递增数列．

由
＝T1Tn 得 (2+
)2＝6＋
＞6， 故2＋
＞
，又m≠n，所以

1＜m＜
　( m∈N*)，

即m＝2，解得n＝12．

所以，当m＝2，n＝12时，T1，Tm，Tn成等比数列． ………… 15分

21．本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分15分。

(Ⅰ) 因为AB∥CD，AB∥EF，所以CD∥EF．

又因为CD＝EF，所以，四边形CDFE是平行四边形．

故CE∥DF，因此

CE∥平面ADF． ………… 5分

(Ⅱ) 取AB中点G，连结CG交BD于点O，连结EO．

因为CE∥DF，所以DF与平面BDE所成角等于CE与平面BDE所成角．

因为AB⊥AF，平面ABCD⊥平面ABEF，所以，AF⊥平面ABCD．

又EG∥AF，从而EG⊥平面ABCD．所以

EG⊥BD．

在正方形BCDG中， BD⊥CG，故BD⊥平面ECG，所以，

平面BDE⊥平面ECG．

在平面CEO中，作CH⊥EO，交直线EO于点H．得CH⊥平面BDE．所以

∠CEH是CE与平面BDE所成角．

过点G作GQ⊥EO，因为OC＝OG，所以CH＝GQ＝
．又CE＝DF＝
，所以

sin∠CEH＝
＝
． ………… 15分

21

22．本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分14分。

(Ⅰ) 设直线PQ方程为x＝t y＋
，代入y2＝4x得

y2－4t y－2＝0．

设P (x1，y1)，Q (x2，y2)，则

y1＋y2＝4t， y1 y2＝－2， x1＋x2＝4t2＋1，

所以M (2t2＋
，2t)．

设M (x，y)，由
消去t得中点M的轨迹方程为

y2＝2x－1． ……… 6分

(Ⅱ) 设
，A (x0，y0)，又F (1，0)，M (2t2＋
，2t)，于是

由点A在抛物线y2＝4x上，得

，

又λ＜0，所以t2＝
，点A到直线PQ的距离

d＝
．

又

|PQ|＝
|y1－y2|
．

所以，△APQ面积

S＝
|PQ|d＝
|λ－1|＝
．

设f (λ)＝
，λ＜0， 有f ' (λ)＝
，故f (λ)在(－∞，－
)上是减函数，在(－
，0)上是增函数，因此，当λ＝－
时f (λ)取到最小值．

所以，△APQ面积的最小值是
． ……… 14分