河南省开封市2015届高三第二次模拟考试

数学（文）试题

本试卷分第Ⅰ卷（ 选择题） 和第Ⅱ卷（ 非选择题） 两部分, 其中第Ⅱ卷第（ 22） - （ 24）

题为选考题,其他题为必考题。考生作答时, 将答案答在答题卡上, 在本试卷上答题无效。考试结束

后,将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项:

1．答题前,考生务必先将自己的姓名, 准考证号填写在答题卡上, 认真核对条形码上的姓名、 准考证号, 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案的标号,非选择题答案使用0 ．5 毫米的黑色中性（ 签字） 笔或碳素笔书写, 字体工整,笔迹清楚。

3 ．请按照题号在各题的答题区域（ 黑色线框） 内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卷面清洁,不折叠, 不破损。

5．做选考题时,考生按照题目要求作答, 并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式:

样本数据x1 , x2 ,…x n 的标准差 锥体体积公式

其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积,h 为高

柱体体积公式 球的表面积, 体积公式

其中S 为底面面积,h 为高 其中R 为球的半径

第 Ⅰ 卷

一、 选择题: 本大题共12 小题, 每小题5 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。

1．集合 U = {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6} , N = { 1 ,4 ,5} , M= { 2 ,3 ,4} ,则 N ∩（ 瓓UM） =

A．{1 ,4 ,5} B．{ 1 ,5} C．{ 4} D．{ 1 ,2 ,3 ,4 ,5}

2 ．已知复数
, 则“ a = 1”是“ z 为纯虚数”的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

3 ．若向量a = （ 1 ,2） ,b = （ - 3 ,4） ,则（ a·b） （ a + b） =

A．20 B．（ - 10 ,30） C．54 D．（ - 8 ,24）

4 ．过点 M （ 1 ,2） 的直线l 与圆C :（ x - 3）2+ （ y - 4）2= 25 交于 A、 B 两点,C 为圆心,

当 ∠ACB 最小时, 直线l 的方程是

A．x - 2 y + 3 = 0 B．2 x + y - 4 = 0

C．x - y + 1 = 0 D．x + y - 3 = 0

5 ．某几何体的三视图如图所示, 侧视图、 俯视图都是边长为1 的

正方形, 则此几何体的外接球的表面积为

A．3π B ．4π

C．2π D ．

6．若
则cos（ α+ β ） 的值等于

A．－
B．－

C．
D．

7 ．气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续5 天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、 乙、 丙三地连续5 天的日平均温度的记录数据（ 记录数据都是正整数,单位 ℃ ） :

① 甲地:5 个数据的中位数为24 ,众数为22 ;

② 乙地:5 个数据的中位数为27 ,总体均值为24 ;

③ 丙地:5 个数据中有一个数据是32 ,总体均值为26 ,总体方差为10 ．2 ．则肯定进入夏季的地区有

A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个

8 ．给出一个如图所示的流程图, 若要使输入的x 值与

输出的 y 值相等, 则这样的x 值的个数是

A．1 B．2

C．3 D．4

9 ．若函数 f （ x） = （ 1 + 3ta n x） cosx ,0 ≤ x <
,则

f（ x） 的最大值为

A．1 B．2

C．3 + 1 D．3 + 2

10 ．三棱锥 S—ABC 中,∠SBA = ∠SCA = 90° ,

△ABC 是斜边 AB = a 的等腰直角三角形,则以

下结论中:

① 异面直线 SB 与AC 所成的角为90° ;

② 直线 SB ⊥ 平面 ABC ;

③ 平面 SBC ⊥ 平面SAC;

④ 点 C 到平面SAB 的距离是
a ．

其中正确结论的个数是

A．1 B．2 C．3 D．4

11 ．已知a > b > 0 ,椭圆 C1 的方程为
,双曲线 C2 的方程为
,C1 与 C2 的离心率之积为
, 则 C1 、 C2 的离心率分别为

A．
，3 B．
C．
，2 D．

12 ．已知函数y = f （ x - 1） 的图象关于点（ 1 ,0） 对称,且当 x ∈（ - ∞,0） 时,

f （ x） + xf' （ x） < 0 成立（ 其中f' （ x） 是f （ x） 的导函数） ,若a = （ 30 ．3） ·f （ 30 ．3） ,b = （ log π 3） ·f （log π 3） ,c = （ log3
）·f （log 3
） ,b ,c 的大小关系是

A．a > b > c B．c > a > b C ．c > b > a D．a > c > b

第 Ⅱ 卷

本卷包括必考题和选考题两部分,第（ 13） 题 ～ 第（ 21） 题为必考题, 每个试题考生都必

须做答,第（ 22） 题 ～ 第（ 24） 题为选考题, 考试根据要求做答。

二、 填空题: 本大题共4 小题,每小题5 分．

13 ．设实数x 、 y 满足
, 则z = 2x + 3y - 1 的最大值是 ．

14 ．若函数
且a ≠1） 的定义域为（ 0 , + ∞） , 则实数a的取值范围是 ．

15 ．在 △ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为a ,b ,c , 且 C =
π ,s i nA =
,c - a = 5 - 10 , 则b = ．

16 ．已知a , b , 是单位向量,a ·b = 0 , 若向量c 与向量a ,b 共面, 且满足| a - b - c | = 1 , 则| c | 的取值范围是 ．

三、 解答题: 解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤

17 ．本小题满分12 分）

等差数列{ an} 中公差d ≠0 , a1 = 3 ,a1 、 a4 、 a13 成等比数列．

（Ⅰ） 求a n ;

（Ⅱ） 设{ an} 的前n 项和为S n ,求:
。

18 ．本小题满分12 分）

某种产品按质量标准分成五个等级,等级编号x 依次为1、 2、 3、 4、 5 , 现从一批产品中随机抽取20 件,对其等级编号进行统计分析, 得到频率分布表如下:

（Ⅰ） 若所抽取的20 件产品中, 等级编号为4 的恰有2 件, 等级编号为5 的恰有4 件, 求a ,b ,c 的值;

（Ⅱ） 在（Ⅰ） 的条件下,将等级编号为4 的2 件产品记为x1 、 x2 ,等级编号为5 的4 件产品记为y1 、 y2 、 y3 、 y4 ,现从x1 、 x2 、 y1 、 y2 、 y3 、 y4 , 这6 件产品中任取两件（ 假定每件产品被取出的可能性相同） ,写出所有可能的结果, 并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率．

19 ．本小题满分12 分）

如图, 在三棱柱 ABC - A1 B1 C1 中, A1 B ⊥ 平面 ABC ,

AB ⊥ AC ．

（Ⅰ） 求证: AC ⊥ BB1 ;

（Ⅱ） 若 P 是棱B1 C1 的中点, 求平面 PAB 将三棱柱

ABC - A1 B1 C1 分成的两部分体积之比．

20 ．本小题满分12 分）

已知函数
（ 其中a ∈ R ） ．

（Ⅰ） 若 x = 0 为f （ x） 的极值点, 求a 的值;

（Ⅱ） 在（ Ⅰ） 的条件下,解不等式

21 ．本小题满分12 分）

已知抛物线C: x2= 2 py（ p > 0） 的焦点为F , 抛物线上一点A的横坐标为x 1（ x1 > 0） ,过点 A 作抛物线C 的切线l1 交x 轴于点D , 交y 轴于点Q ,交直线l ∶y =
于点 M,当| FD| = 2 时,∠AF D = 60° ．

（ Ⅰ） 求证: △AFQ 为等腰三角形, 并求抛物线 C 的方程;

（ Ⅱ） 若点 B 位于y 轴左侧的抛物线C 上, 过点B 作抛物线C 的切线l2 交直线l1 于点P , 交直线l 于点 N , 求 △P MN 面积的最小值, 并求取到最小值时的x1 值．

22 ．（ 本小题满分10 分） 选修4 - 1 : 几何证明选讲

如图,△ABC 为直角三角形,∠ABC = 90° , 以AB 为直径

的圆交AC 于点E ,点 D 是BC 边的中点, 连OD 交圆O 于

点 M．

（Ⅰ） 求证: O, B, D, E 四点共圆;

（Ⅱ） 求证:2 DE2= DM·AC + DM·AB ．

23 ．本题满分10 分） 选修4—4 : 坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为
为参数） , 若以O为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为ρ= 2cos（θ+
）

（ Ⅰ） 求直线l 被曲线C 所截得的弦长;

（ Ⅱ） 若 M （ x , y） 是曲线 C 上的动点, 求xy 的最大值．

24 ．本小题满分10 分） 选修4—5 : 不等式选讲

已知函数 f （ x） = | x - 1 |

（ Ⅰ） 解不等式 f （ 2 x） + f （ x + 4） ≥8 ;

（ Ⅱ） 若| a| < 1 , | b | < 1 , a ≠0 , 求证:

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