数学（理科）·答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

A

B

C

D

D

B

B

C

A

B

D

A



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.
14.
15.
16.

三、解答题：本大题共6小题，共70分。

17. （本小题满分10分）

解:（1）由f（﹣1）=﹣2知，lgb﹣lga+1=0①，所以
②．

又f（x）≥2x恒成立，f（x）﹣2x≥0恒成立，则有x2+xlga+lgb≥0恒成立，

故△=（lga）2﹣4lgb≤0， ………………………………………………………………2分

将①式代入上式得：（lgb）2﹣2lgb+1≤0，即（lgb﹣1）2≤0，………………………4分

故lgb=1即b=10，代入②得，a=100 ……………………………………………………5分

（2）由（1）知f（x）=x2+4x+1，则可得f（x）＜x+5，即x2+4x+1＜x+5，

所以x2+3x﹣4＜0，…………………………………………………………………………7分

解得﹣4＜x＜1，因此不等式的解集为{x|﹣4＜x＜1}． ……………………………10分

18. （本小题满分12分）

解：（1）在△BCD中，B=
，BC=1，DC=
，由正弦定理得到：
，

解得
， ……………………………………………………………3分

则∠BDC=
或
．又由DA=DC，则∠A=
或
． …………………………………6分

（2）由于B=
，BC=1，△BCD面积为
，

则
，解得
． …………………………………………………8分

再由余弦定理得到
=
，

故
，…………………………………………………………………………………10分

又由AB=AD+BD=CD+BD=
，故边AB的长为
．……………………………12分

19. （本小题满分12分）

解：（I）f′（x）=2（x﹣2），由
﹣
，

可得
，
，∴{an﹣2}是以a1﹣2=1为首项，公比为
的等比数列， ……………………………………………3分

∴
，∴
．……………………………………………5分

（Ⅱ）由题意
，则
……………7分

令
① ①×
得：
②

①﹣②得：
=
=2（1﹣
）﹣
，………10分

即
，所以
……12分

20. （本小题满分12分）

（1）证明：∵点A1在底面ABC的射影是线段BC的中点O，∴A1O⊥面ABC，

而BC?面ABC，∴A1O⊥BC，………………………………………………………………………1分

又∵AC=AB=5，线段BC的中点O，∴BC⊥AO，∵A1O∩AO=O，……………………………3分

∴BC⊥面A1OA，EO?面A1OA，EO⊥BC，又∵OE⊥B1C，B1C∩BC=C，

B1C?面BB1C1C，BC?面BB1C1C∴OE⊥面BB1C1C；…………………………………………5分

（2）由（1）知，在
中，
,则AO=4,

在
中,
,则

分别以OC、OA、OA1为x、y、z轴建立空间坐标系，

C（3，0，0），A1（0，0，4
），

A（0，4，0），B（﹣3，0，0），∵
，

∴B1（﹣3，﹣4，4
），∵
，∴C1（3，﹣4，4
），

=（﹣3，0，4
），

=（﹣6，﹣4，4
），
=（0，﹣4，4
），

设面A1B1C的法向量
=（x，y，z），
，

取
=（1，﹣
，
），……………………………………………………………………8分

设面C1B1C的法向量
=（x，y，z），
，取
=（0，
，1），…………………9分

cos
，……11分

所以平面A1B1C与平面B1C1 C所成锐二面角的余弦值为
………………………12分

21. （本小题满分12分）

解：（1）依题意，得a=2，
，∴c=
，b=
=1，故椭圆C的方程为
…3分

（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1），不妨设y1＞0．

由于点M在椭圆C上，所以
． （*） …………………………………4分

由已知T（﹣2，0），则
，
，

∴
=（x1+2）2﹣

=
=
．

由于﹣2＜x1＜2，故当
时，
取得最小值为
．

由（*）式，
，故
，…………………………………………………………6分

又点M在圆T上，代入圆的方程得到
．故圆T的方程为：
．… 7分

方法二：点M与点N关于x轴对称，故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），……4分

不妨设sinθ＞0，由已知T（﹣2，0），

则

=（2cosθ+2）2﹣sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3

=
．故当
时，
取得最小值为
，

此时
， …………………………………………………………………………6分

又点M在圆T上，代入圆的方程得到
．故圆T的方程为：
．…7分

（3）方法一：设P（x0，y0），则直线MP的方程为：
，

令y=0，得
，同理：
， ………………………………9分

故
，又点M与点P在椭圆上，

故
，
，代入（**）式，得：

……………11分

所以|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4为定值． ………………………………………………12分

方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，﹣sinθ），

不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．

则直线MP的方程为：
，

令y=0，得
，

同理：
， …………………………… ………………9分

故
…11分

所以|OR|?|OS|=|xR|?|xS|=|xR?xS|=4为定值．……12分

22. （本小题满分12分）

（Ⅰ）解：因为f′（x）=（2x﹣3）ex+（x2﹣3x+3）ex=
，

由f′（x）＞0?x＞1或x＜0，由f′（x）＜0?0＜x＜1， …………………………………2分

∴函数f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，

∵函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数，∴﹣2＜t≤0， ……………………………………4分

（Ⅱ）证：因为
，∴

，即为x02﹣x0=
，

令g（x）=x2﹣x﹣
， …………………………………………………………………5分

从而问题转化为证明方程g（x）= x2﹣x﹣
=0在（﹣2，t）上

有解并讨论解的个数，因为g（﹣2）=6﹣

=﹣
，

g（t）=t（t﹣1）﹣

=
，………………………………………………7分

1)当t＞4或﹣2＜t＜1时，g（﹣2）?g（t）＜0，

此时g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且只有一解，

2）当1＜t＜4时，g（﹣2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=﹣
＜0，

此时g（x）=0在（﹣2，t）上有解，且有两解，

3）当t=1时，g（x）=x2﹣x=0，解得x=0或1（舍），

此时g（x）=0在（﹣2，t）上有且只有一解，

4）当t=4时，g（x）=x2﹣x﹣6=0，解得x=3或-2（舍）

此时g（x）=0在（﹣2，t）上也有且只有一解，…………………………………………11分

综上所述，对于任意的t＞﹣2，总存在x0∈（﹣2，t），满足

，

且当t≥4或﹣2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，当1＜t＜4时，

有两个x0适合题意．…………12分