2015年高中毕业年级第一次质量预测

理科数学 参考答案

一、选择题

1-12：BCDA DBCC BADA

二、填空题

13.
14.-10 15.82 16.2,3,4.

三、解答题

17.解：(Ⅰ)
，
，

由余弦定理：

=
，………………………………2分

． ……………………………………………………………………4分

又
，所以
，

由正弦定理：
，

得
．………………………………………6分

(Ⅱ) 以
为邻边作如图所示的平行四边形
，如图，则
，…………………8分

在△BCE中，

由余弦定理：
．

即
，

解得：
即
…………………10分

所以
.…………………………………………12分

18.解：(Ⅰ)当
时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，………………2分

若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；…………………3分

若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对1首，

此时的概率为：
………… …………5分

（2）∵
的取值为10，30，50，又
…………………6分

∴
,

…………………9分

∴
的分布列为：

10

30

50













∴
.…………………………………………12分

19.解：（1）当
为
中点时，
平面
，…………………2分

理由如下： 连结
交
于
，连结
，

因为
，
为
的中点，所以
为
的中点．

当
为
的中点，即
时，
为
的中位线，…………4分

故
，又
平面
，

所以
平面
.…………………………………………5分

（2）由题意，以点为原点
所在直线分别为
轴，

建立空间直角坐标系，…………………6分

则
…………………7分

由
可得点
,

所以
,

设平面
的法向量为
，则

令
，…………………9分

同理平面
的法向量为
,…………………10分

设二面角大小为
，
…………………………………………12分

20.解：(1).设点
，由题意可得，
，…………………2分

整理可得：
.曲线的方程是
.………………………5分

(2).设
，
，由已知可得：

当
时，不合题意. …………………6分

当
时，由直线
与圆
相切，可得：
，即

联立
消去得
…………………8分

，

所以，

=
=
10分

当且仅当
，即
时等号成立，此时
，经检验可知，

直线
和直线
符合题意. ………………………………12分

21.解：（1）当
时，
,定义域为
，

…………………2分

，又

在
处的切线方程
……………4分

（2）令
则
即

令
， …………………5分

则
…………………6分

令
,
，
，
在
上是减函数，又
，所以当
时，
，当
时，
，

所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
.………8分

因为
， 所以当函数
有且仅有一个零点时，
.

当
，
，若
只需证明

…………………9分

，令
得
或
，又
，

函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，10分

又
，

即
，

………12分

22．证明：(1)因为
，所以
.

由于
为切线，故
，…………………2分

又因为
，所以
，

所以
，

从而
.…………………4分

又
所以
，所以
，

故
为圆的直径．…………………5分

(2)连接BC，DC.

由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.

在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，

于是∠DAB＝∠CBA. …………………7分

又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB. ………………8分

因为AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角，…………………9分

所以ED为直径，又由(1)知AB为圆的直径，所以
.…………………10分

23.解：(Ⅰ)圆
的普通方程为
，即
………2分

所以圆心坐标为（1，-1），圆心极坐标为
；…………………5分

(Ⅱ)直线
的普通方程：
，圆心到直线
的距离

，…………………7分

所以

点直线
距离的最大值为
…………………9分

.…………………10分

24.解：（Ⅰ）当
时，
………………………3分

由
易得不等式解集为
；………………………5分

（2）由二次函数
，该函数在
取得最小值2，

因为
在
处取得最大值
，…………………7分

所以要使二次函数
与函数
的图象恒有公共点，只需
，

即
.……………………………10分