一、选择题（每小题5分，共50分）

1．设集合
，
，若
，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．下列命题中是假命题的是（　 ）

A．
;

B．
使得函数
是偶函数；

C．
使得
；

D．
是幂函数，且在
上递减；

3．
的值为（　 ）

A．
B．
C．
D．

4．定义在上的奇函数
满足
，当
时，
，则
在区间
内是（ ）

A．减函数且
B．减函数且

C．增函数且
D．增函数且

5．已知数列
的前项和
，则数列
（ ）

A. 一定是等差数列

B. 一定是等比数列

C. 或者是等差数列，或者是等比数列

D. 既不可能是等差数列，也不可能是等比数列

6．已知实数x，y满足约束条件则z＝x＋3y的最大值等于(　　)

A．9 B．12 C．27 D．36

7. 将函数
的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移
个单位，所得图像的一条对称轴方程为（ ）

A.
B.
C.
D.

8. 已知
为数列
的前项和，且满足
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

9．
中，
，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则
?
的取值范围是（　　）

A． [1，2] B．[0，1] C． [0，2] D． [﹣5，2]

10．已知函数
设两曲线
有公共点，且在该点处的切线相同，则
时，实数
的最大值是（　　）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（每小题5分，共25分）

11．
是正三角形ABC的斜二测画法的水平放置直观图，若
的面积为
，那么
的面积为 ．

12．若
是正项递增等比数列，
表示其前项之积，且
，则当
取最小值时，的值为________．

13.设
均为正数,满足
,则
的最小值是 .

14．已知向量
与向量
的夹角为
，若
且
，则
在
上的投影为

15.下列四个命题：

①函数
与
的图像关于直线
对称；

②函数
的值域为，则实数的取值范围为
；

③在
中，“
”是“
”的充分不必要条件；

④数列
的通项公式为
，若
是单调递增数列，则实数
的取值范围为
。

其中真命题的序号是_________

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤

16、（本小题满分12分）

已知集合
，集合
，函数
的定义域为集合B．

（I）若
，求集合
；

（II）命题
，命题
，若是的必要条件，求实数的取值范围．

17．(本小题满分12分)

已知几何体
的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体
的体积为
．

（I）求实数的值；

（II）将直角三角形
绕斜边
旋转一周，求该旋转体的表面积．

18. (本小题满分12分)

已知函数
，数列
的前项和为
，点
均在函数
的图象上.

（I）求数列
的通项公式
；

（II）令
，证明：
.

19. (本小题满分12分)

已知
的角
所对的边分别是
，设向量
，
，
.

（I）若
∥
，求角B的大小；

（II）若
，边长
，求
的面积的最大值．

20. (本小题满分13分)

已知等差数列
的前项和为
，并且
，
，数列
满足：
，
，记数列
的前项和为
.

（I）求数列
的通项公式
及前项和公式
；

（II）求数列
的通项公式
及前项和公式
；

（III）记集合
，若
的子集个数为16，求实数
的取值范围。

21．(本小题满分14分)已知函数
.

（I）求
的单调区间；

（II）已知数列
的通项公式为
，求证：
（为自然对数的底数）；

（III）若
，且
对任意
恒成立，求
的最大值。

南昌二中2015届高三上学期第四次考试

数学试题（理）参考答案

13. 解析：由
可化为
,得
,

14．解析：
因为向量
与向量
的夹角为
，所以
在
上的投影为
，问题转化为求
，

因为

故

所以
在
上的投影为
.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写成文字说明、证明过程或演算步骤

16、（本小题满分12分）

解析：

（1）因为集合
，因为

函数
，由
，

可得集合

，

故
.

（2）因为是的必要条件等价于是的充分条件，即

由
，而集合应满足
，

因为

故
，

依题意就有：

，

即
或

所以实数的取值范围是
.

17．(本小题满分12分)

解析：

（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=，

体积
；

（2）在
中，
，
，
，

过B作AD的垂线BH，垂足为H，易得
，

该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为
，

所以圆锥底面周长为
，两个圆锥的母线长分别为
和2，

故该旋转体的表面积为
。

18. (本小题满分12分)

解析：（1）点
在
的图象上，
，

当
时，
；

当
时，
适合上式，
；

（2）证明：由
，

，又
，

，
成立.

19. (本小题满分12分)

解析：（1）∵
∥

，

（2）由
得
，

由均值不等式有
（当且仅当
时等号成立），

又
,

所以
,从而
（当且仅当
时等号成立），

于是
，

即当
时，
的面积有最大值
．

20. (本小题满分13分)

解析：（1）设数列
的公差为
，

由题意得
，解得
，∴
，∴
。

（2）由题意得
，

叠乘得
.

由题意得
①

②

②—① 得：

∴

（3）由上面可得
，令
，

则
，
，
，
，
。

下面研究数列
的单调性，

∵
，

∴
时，
，
，即
单调递减。

∵集合
的子集个数为16，∴
中的元素个数为4，

∴不等式
，
解的个数为4，

∴

21．(本小题满分14分)

解析：（1）因
，所以
。

当
时，
；当
时，
。

所以
的单调递增区间是
，单调递减区间是
。

（2）由（1）知，当
时，
，即
。

因为
，所以
。

令
，这
个式子相加得

.

即
，所以
。

（3）令
，则
。

令
，则
，故
在
上单调递增，

而
，
，

所以
存在唯一零点
，即
。

当
时，
，即
；

当
时，
，即
。

所以
在
上单调递减，在
上单调递增，

故
。

由题意有
，又
，
，所以
的最大值是3。