湛江市2015届高中毕业班调研测试题数学(文科)

.

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合
，则

A.
B.
C.
D.

【答案】A

2.已知复数满足
，则复数

A.
B.
C. D.

【答案】C

3.某校高一、高二、高三三个年级依次有600、500、400名同学，用分层抽样的方法从该校抽取取名同学，其中高一的同学有30名，则

A.65 B.75 C.50 D.150

【答案】B

4.函数
的定义域是

A.
B.
C.
D.

【答案】D

5.下列函数是增函数的是

A.
B.

C.
D.

【答案】B

6.“
”是“
是第一象限角”的

A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

【答案】C

7.在
，边
所对的角分别为
，若
，
，b=1，则a=

A.
B.
C.
D.

【答案】A

8.若一个几何体的主视图和左视图是边长为2的等边三角形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积是

A.
B.
C.
D.不能确定

【答案】B

9.抛物线
的焦点到双曲线
的一条渐近线的距离为

A.2 B.4 C.
D.

【答案】D

10.在平面直角坐标系中，
为坐标原点，设向量
a,
b,其中a=（3,1），b=（1,3），若
，且
，则点C所有可能的位置区域用阴影表示正确的是

【答案】D

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.

（一）必做题（11~13题）

【题文】11.为了解一片防风林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）、根据所得数据画出样品的频率分布直方图（如图），那么在这100株树木中，底部周长大于100cm的株数是__________.

【答案】7000

12.等差数列
中，
则该数列的通项公式
_________.（
）

【答案】
3n-5

13.设函数
，
，若这两个函数的图象有3个交点，则
_________.

【答案】a=1

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选择一题）

14.（坐标系与参数方程选做题）直线
（
）被圆
截得的弦长为_________.

【答案】

15.（几何证明选讲选做题）如图，

的直径
，P是
延长线上的一点，过点P作
的切线，切点为
，连接
，若
，则
_______.

【答案】3

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分12分）

已知函数
，且
.

（1）求的值；

（2）若
，且
，求
的值.

【答案】（1）
（2）

（1）∵
，∴ m=4.

（2）由
，得
，即
，

∵
，∴
.

∴

17.（本小题满分12分）

某兴趣小组由4男2女共6名同学.

（1）从6人中任意选取3人参加比赛，求所选3人中至少有1名女同学的概率；

（2）将6人平均分成两组进行比赛，列出所有的分组方法.

【答案】（1）
（2）10种

记4名男同学为：A，B，C，D，2名女同学为1,2

（1）从6人中任意选取3人，共有ABC，ABD，AB1，AB2，ACD，AC1，AC2，AD1，AD2，A12，BCD，BC1，BC2，BD1，BD2，B12，CD1，CD2，C12，D12共20种…4分

至少有1名女同学的是AB1，AB2，AC1，AC2，AD1，AD2，A12，BC1，BC2，BD1，BD2，B12，CD1，CD2，C12，D12共16种，所求概率为

（2）共有ABC，D12；ABD，C12；AB1，CD2；AB2，CD1；ACD，B12；AC1，BD2；AC2，BD1；AD1，BC2；AD2，BC1；A12，BCD共10种.

18.（本小题满分14分）

如图，已知棱柱
的底面是正方形，且
平面
，为棱
的中点，为线段
的中点.

（1）证明：
//平面
；

（2）证明：
平面
.

（1）证明：连接AC交BD与O，连接OF，

∵ ABCD是 正方形∴ O是BD的中点，BD⊥OA，

又∵为线段
的中点∴ OF∥DD1且OF=

∵为棱
的中点，∴
且

∴
，∵
平面ABCD，且
平面ABCD

∴
平面ABCD

（2）证明：∵
平面
且
，∴
平面
∴

∵
且
，
，

∴
∵
∴

19.（本小题满分14分）

已知数列
的前项和
满足
，
.

（1）证明：数列
为等比数列；并求出数列
的通项公式；

（2）记
，数列
的前项和为
，求
.

【答案】（1）证明：当n=1时，

当n>1时，

∴
∴
是以6为首项，2为公比的等比数列

∴
∴

（2）解：

∴

令
（1）

∴
（2）

（1）-（2）得：

∴
∴

20.（本小题满分14分）

如图，点F是椭圆
的左焦点，定点P的坐标为（-8,0）.线段
为椭圆的长轴，已知
，且该椭圆的离心率为
.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点P的直线与椭圆相交于两点A、B.证明：直线FA与FB的斜率之和为0；

（3）记
的面积为
，求
的最大值.

【答案】（1）
（2）略（3）

解法一：

（1）

又离心率
，

所求椭圆的标准方程为：

（2）设直线FA、FB、斜率分别为
、
、

当AB的斜率为0时，显然有
命题成立，

当AB的斜率不为0时，可设AB的方程为

代入椭圆方程整理得：

判别式

而

（3）

当且仅当
，即
（此时判别式
）时取等号，

的面积
的最大值为
.

解法二：

（1）

又离心率
，

所求椭圆的标准方程为：

（2）设直线FA、FB、AB的斜率分别为
、
、

当
时，显然有
命题成立，

当
时，可设AB的方程为

代入椭圆方程整理得：

判别式

，

而

（3）

当且仅当
，即
（此时判别式
）时取等号，

的面积
的最大值为
.

21.（本小题满分14分）

已知函数
.

（1）当
时，求曲线
在点（1，
）处的切线方程；

（2）当
时，讨论函数
的单调性.

【答案】（1）
（2）当
时，函数
在
单调递减，在
上单调递增；当
时，函数
在
单调递减，在
上单调递增；在
上单调递减.

（1）当
时，

即曲线
在点
处的切线斜率为0，

又
曲线
在点
处的切线方程为

（2）
∴

令
①当
时，

当
时
此时
函数
单调递减，

当
时
此时
函数
单调递增，

②当
时，由
即
解得

此时

当
时，
此时
函数
单调递减，

当
时，
此时
函数
单调递增，

当
时，
此时
函数
单调递减.

综上所述：当
时，函数
在
单调递减，在
上单调递增；

当
时，函数
在
单调递减，在
上单调递增；在
上单调递减.