广东省湛江市2015届高三（上）调考数学试卷（理科）

一.选择题（每小题5分，共40分）

1．已知集合A={﹣1，1，3}，B={1，3，5}，则A∪B=（　　）

　 A． {﹣1，1，3，5} B． {1，3} C． {﹣1，5} D．{﹣1，1，1，3，3，5}

2．已知（1﹣i）z=1+i，则复数z等于（　　）

　 A． 1+i B． 1﹣i C． i D． ﹣I

3．某校高一、高二、高三三个年级依次有600、500、400名同学，用分层抽样的方法从该校抽取n名同学，其中高一的同学有30名，则n=（　　）

　 A． 65 B． 75 C． 50 D． 150

4．下列函数是增函数的是（　　）

　 A． y=tanx（x∈（0，
）∪（
，π）） B． y=x

　 C． y=cosx（x∈（0，π）） D． y=2﹣x

5．“sinθ?cosθ＞0”是“θ是第一象限角”的（　　）

　 A．充分必要条件 B． 充分非必要条件

　 C．必要非充分条件 D． 非充分非必要条件

6．抛物线y2=16x的焦点到双曲线
﹣
=1的一条渐近线的距离为（　　）

　 A． 2 B． 4 C．
D． 2

7．若存在x∈（0，1），使x﹣a＞log0.5x成立，则实数a的取值范围是（　　）

　 A．（﹣∞，+∞） B． （﹣∞，﹣1） C． （﹣∞，1） D． （﹣1，+∞）

8．在平面直角坐标中，O为坐标原点，设向量
=
，
=
，其中
=（3，1），
=（1，3），若
=λ
+μ
，且0≤λ≤μ≤1，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（　　）

二.填空题（每小题5分，满分25分）必做题（9-13题）

9．等差数列{an}中，a5=10，a12=31，则该数列的通项公式an=　_________　（n∈N+）

10．若一个几何体的主视图、左视图都是边长为2的等边三角形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积是　_________　．

11．在△ABC中，边a、b所对的角分别为A、B，若cosA=﹣
，B=
，b=1，则a=　_________　．

12．随机抽取n种品牌的含碘盐各一袋，测得其含碘量分别为a1，a2，…，an，设这组数据的平均值为，则图中所示的程序框图输出的s=　_________　（填表达式）

　

13．设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号有　_________　．（把所有的真命题全填上）

①x为直线，y，z为平面；

②x，y，z都为平面；

③x，y为直线，z为平面；

④x，y，z都为直线；

⑤x，y为平面，z为直线．

三.选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）[坐标系与参数方程选做题]

14．直线
（t为参数）被圆x2+y2=4截得的弦长为　_________　．

[几何证明选讲选做题]

15．（几何证明选做题）

如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，则PC=　_________　．

三.解答题（共6小题，共80分）

16．（12分）已知函数f（x）=cos2x+2
sinxcosx．

（1）求函数f（x）的最大值，并取得最大值时对应的x的值；

（2）若f（θ）=
，求cos（4θ+
）的值．

17．（12分）某校1为老师和6名学生暑假到甲、乙、丙三个城市旅行学习，每个城市随机安排2名学生，教师可任意选择一个城市．“学生a与老师去同一个城市”记为事件A，“学生a和b去同一城市”为事件B．

（1）求事件A、B的概率P（A）和P（B）；

（2）记在一次安排中，事件A、B发生的总次数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．

18．（14分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1A⊥平面ABC，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．

（1）若EB=3CE，证明：DE∥平面A1MC1；

（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．

19．（14分）记数列{an}的前n项和为Sn，a1=a（a≠0），且2Sn=（n+1）?an．

（1）求数列{an}的通项公式an与Sn；

（2）记An=
+
+
+…+
，Bn=
+
+
+…+
，当n≥2时，试比较An与Bn的大小．

20．（14分）如图，点F是椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左焦点，定点P的坐标为（﹣8，0），线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且该椭圆的离心率为
．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点P的直线与椭圆相交于两点A、B，求证：∠AFM=∠BFN；

（3）记△ABF的面积为S，求S的最大值．

21．（14分）已知函数
（a∈R）．

（Ⅰ）当a=﹣1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

（Ⅱ）当
时，讨论f（x）的单调性．