一、选择题（每小题5分，10小题，共50分）

1. 已知R是实数集，
，则N∩?RM=（　　）

A．

（1，2）

B．

[0，2]

C．

（0，2）

D．

[1，2]





2.是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（　　）

A．

1+i

B．

﹣1﹣i

C．

﹣1+i

D．

1﹣i



3. 已知命题p：函数y=ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过（﹣1，2）点；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件；则下列命题为真命题的是（　　）

A．

p∧q

B．

￢p∧￢q

C．

￢p∧q

D．

p∧￢q



4. 运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（　　）

A．



B．



C．



D．





5. 一个体积为12
的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（　　）

A．

6

B．

8

C．

8

D．

12



6. 在下列直线中，与非零向量
=（A，B）垂直的直线是（　　）

A．

Ax+By=0

B．

Ax﹣By=0

C．

Bx+Ay=0

D．

Bx﹣Ay=0



7. 在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则
=（　　）

A．



B．



C．



D．





8. 设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则
的最小值为（　　）

A．

3

B．



C．

5

D．

7



9. 已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列
的前n项和为Tn，则T2014的值为（　　）

A．



B．



C．



D．





10. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（　　）

A．



B．



C．



D．





二、填空题（每小题5分，5小题，共25分）

11. 已知tan（
﹣α）=
，则cos（
+2α）的值为　　．

12. 有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9，从中任意取三条，一定能构成三角形的概率是　　．

13. 若实数x，y满足
的最小值是　　．

14. 圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2
，则圆C的标准方程为　　．

15. ①函数
在[0，π]上是减函数；

②点A（1，1）、B（2，7）在直线3x﹣y=0两侧；

③数列{an}为递减的等差数列，a1+a5=0，设数列{an}的前n项和为Sn，则当n=4时，Sn取得最大值；

④定义运算
则函数
的图象在点
处的切线方程是6x﹣3y﹣5=0．

其中正确命题的序号是　　（把所有正确命题的序号都写上）．

三、解答题（6小题，共75分）

16. 已知函数
（其中ω为正常数，x∈R）的最小正周期为π．

（I）求ω的值；

（II）在△ABC中，若A＜B，且
，求
．

17. 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：

甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计）即为中奖．

乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．

问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？

18. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，∠ABC=90°．

（I）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；

（II）求异面直线A1B与AC所成角的余弦值．

19. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4．

（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{cn}对任意自然数n均有
=an+1成立，求c1+c2+…+c2014的值．

20. 如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1．

（I）求四棱锥F﹣ABCD的体积VF﹣ABCD．

（II）求证：平面AFC⊥平面CBF．

（III）在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF，并说明理由．

\

21.已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数
在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；

（Ⅲ）求证：
．

高三数学文科月考试卷

一、选择题（每小题5分，10小题，共50分）

1. 已知R是实数集，
，则N∩?RM=（　　）

A．

（1，2）

B．

[0，2]

C．

?

D．

[1，2]



解答：

解：∵M={x|
＜1}={x|x＜0，或x＞2}，N={y|y=
+1}={y|y≥1 }，

CRM={x|0≤x≤2}，

故有 N∩CRM={y|y≥1 }∩{x|0≤x≤2}

=[1，+∞）∩[0，2]

=[1，2]，

故选D．





2.是z的共轭复数，若z+=2，（z﹣）i=2（i为虚数单位），则z=（　　）

A．

1+i

B．

﹣1﹣i

C．

﹣1+i

D．

1﹣i



解答：

解：由于，（z﹣）i=2，可得z﹣=﹣2i ①

又z+=2 ②

由①②解得z=1﹣i

故选D．





3. 已知命题p：函数y=ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过（﹣1，2）点；命题q：已知平面α∥平面β，则直线m∥α是直线m∥β的充要条件；则下列命题为真命题的是（　　）

A．

p∧q

B．

￢p∧￢q

C．

￢p∧q

D．

p∧￢q



解答：

解：当x+1=0时，x=﹣1，此时y=1+1=2，即函数y=ax+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过（﹣1，2）点，即命题p为真命题．

若直线m∥α，则m∥β或m?β，充分性不成立，若直线m∥β，则m∥α或m?α，必要性不成立，

即直线m∥α是直线m∥β的既不充分也不必要条件，即命题q为假命题，

则p∧￢q为真命题，

故选：D．



4. 运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则t的取值范围为（　　）

A．



B．



C．



D．





解答：

解：第一次执行循环结构：n←0+2，x←2×t，a←2﹣1；∵n=2＜4，∴继续执行循环结构．

第二次执行循环结构：n←2+2，x←2×2t，a←4﹣1；∵n=4=4，∴继续执行循环结构，

第三次执行循环结构：n←4+2，x←2×4t，a←6﹣3；

∵n=6＞4，∴应终止循环结构，并输出38t．

由于结束时输出的结果不小于3，

故38t≥3，即8t≥1，解得t
．

故答案为：B．





5. 一个体积为12
的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（　　）

A．

6

B．

8

C．

8

D．

12



解答：

解：设棱柱的高为h，

由左视图知，底面正三角形的高是
，由正三角形的性质知，其边长是4，

故底面三角形的面积是
=4

由于其体积为
，故有h×
=
，得h=3

由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是3，其面积为3×
=

故选A





6. 在下列直线中，与非零向量
=（A，B）垂直的直线是（　　）

A．

Ax+By=0

B．

Ax﹣By=0

C．

Bx+Ay=0

D．

Bx﹣Ay=0



解答：

解：Ax+By=0的方向向量是（﹣B，A），

Ax﹣By=0的方向向量是（B，A），

Bx+Ay=0的方向向量是（﹣A，B），

Bx﹣Ay=0的方向向量是（A，B），

∴与非零向量
=（A，B）垂直的直线是Ax+By=0．

故选：A．



7. 在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，E，F为边BC的三等分点，则
=（　　）

A．



B．



C．



D．





解答：

解：∵在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，

∴根据余弦定理可知BC=

由AB=2，AC=1，BC=
满足勾股定理可知∠BCA=90°

以C为坐标原点，CA、CB方向为x，y轴正方向建立坐标系

∵AC=1，BC=
，则C（0，0），A（1，0），B（0，
）

又∵E，F分别是Rt△ABC中BC上的两个三等分点，

则E（0，
），F（0，
）

则
=（﹣1，
），
=（﹣1，
）

∴
=1+
=

故选A．



8. 设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则
的最小值为（　　）

A．

3

B．



C．

5

D．

7



解答：

解：由题意知，a＞0，△=1﹣4ac=0，∴ac=4，c＞0，

则 则
≥2×
=3，当且仅当
时取等号，

则
的最小值是 3．

故选A．





9. 已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，若数列
的前n项和为Tn，则T2014的值为（　　）

A．



B．



C．



D．





解答：

解：∵函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线3x﹣y+2=0平行，

由f（x）=x2+bx求导得：f′（x）=2x+b，

由导函数得几何含义得：f′（1）=2+b=3?b=1，∴f（x）=x2+x

所以f（n）=n（n+1），∴数列
的通项为
=
=
，

所以
的前n项的和即为Tn，

则利用裂项相消法可以得到：
=1﹣

所以数列的前2014项的和为：T2014=
．

故选C．



10. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是（　　）

解答：

解：该三视图表示的容器是倒放的圆锥，下面细，上面粗，

随时间的增加，可以得出高度增加的越来越慢．

刚开始高度增加的相对快些．曲线越“竖直”，之后，高度增加的越来越慢，图形越平稳．

故选B．



二、填空题（每小题5分，5小题，共25分）

11. 已知tan（
﹣α）=
，则cos（
+2α）的值为　﹣
　．

解答：

解：设t=
﹣α，即α=
﹣t，tant=
，

则cos（
+2α）=cos（π﹣2t）=﹣cos2t=﹣
=﹣
．

故答案为：﹣
．



12. 有五条线段，长度分别为1，3，5，7，9，从中任意取三条，一定能构成三角形的概率是　
　．

解答：

解：显然共有1，3，5；1，3，7；1，3，9；1，5，7；1，5，9；1，7，9；3，5，7；3，5，9；3，7，9；5，7，9．

共10种情况．

根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

其中能构成三角形的有3，5，7；3，7，9；5，7，9．三种情况，故概率是
．

故填：
．



13. 若实数x，y满足
的最小值是　1　．

解答：

解：令t=x+2y

作出不等式组表示的平面区域，如图所示

由于t=x+2y可得y=
，根据直线在y轴上的截距越大，t越大

∴直线t=x+2y平移到点O（O，0）时，t取得最小值0，此时，z=1

故答案为：1





14. 圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长为2
，则圆C的标准方程为　（x﹣2）2+（y﹣1）2=4　．

解答：

解：设圆心为（2t，t），半径为r=|2t|，

∵圆C截x轴所得弦的长为2
，

∴t2+3=4t2，

∴t=±1，其中t=﹣1不符合题意，舍去，

故t=1，2t=2，

∴（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．

故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．



15. ①函数
在[0，π]上是减函数；

②点A（1，1）、B（2，7）在直线3x﹣y=0两侧；

③数列{an}为递减的等差数列，a1+a5=0，设数列{an}的前n项和为Sn，则当n=4时，Sn取得最大值；

④定义运算
则函数
的图象在点
处的切线方程是6x﹣3y﹣5=0．

其中正确命题的序号是　②④　（把所有正确命题的序号都写上）．

解答：

解：①，∵y=sin（x﹣
）=﹣cosx，在[0，π]上是增函数，故①错误；

②，将A（1，1）、B（2，7）的坐标分别代入3x﹣y得（3×1﹣1）?（3×2﹣7）=﹣2＜0，故点A（1，1）、B（2，7）在直线3x﹣y=0两侧，即②正确；

③，∵数列{an}为递减的等差数列，a1+a5=0，又a1+a5=2a3，

∴2a3=0，

故当n=2或3时Sn取得最大值，故③错误；

④，∵
=a1b2﹣a2b1，

∴f（x）=
=
x3+x2﹣x，

∴[f′（x）]|x=1=（x2+2x﹣1）|x=1=2，

∴f（x）的图象在点（1，
）处的切线方程为：y﹣
=2（x﹣1），整理得：6x﹣3y﹣5=0，故④正确；

综上所述，正确答案为②④．

故答案为：②④．



三、解答题（6小题，共75分）

16. 已知函数
（其中ω为正常数，x∈R）的最小正周期为π．

（1）求ω的值；

（2）在△ABC中，若A＜B，且
，求
．

解答：

解：（1）∵

=
=
．（4分）

而f（x）的最小正周期为π，ω为正常数，

∴
，解之，得ω=1．（6分）

（2）由（1）得
．

若x是三角形的内角，则0＜x＜π，

∴
．

令
，得
，

∴
或
，

解之，得
或
．

由已知，A，B是△ABC的内角，A＜B且
，

∴
，
，∴

．（10分）

又由正弦定理，得
．（12分）



17. 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：

甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分（图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15°，边界忽略不计）即为中奖．

乙商场：从装有3个白球3个红球的盒子中一次性摸出2球（球除颜色外不加区分），如果摸到的是2个红球，即为中奖．

问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？

解答：

解：如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘的面积π?R2，

阴影部分的面积为
，

则在甲商场中奖的概率为：
；

如果顾客去乙商场，记3个白球为a1，a2，a3，3个红球为b1，b2，b3，

记（x，y）为一次摸球的结果，则一切可能的结果有：

（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3）

（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），

（a3，b1），（a3，b2），（a3，b3），

（b1，b2），（b1，b3），

（b2，b3），共15种，

摸到的是2个红球有（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），共3种，

则在乙商场中奖的概率为：P2=
，

又P1＜P2，则购买该商品的顾客在乙商场中奖的可能性大．





18. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=4，∠ABC=90°．

（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积S；

（2）求异面直线A1B与AC所成角的余弦值．

解答：

解：（1）在△ABC中，因为AB=2，AC=4，∠ABC=90°，所以BC=
．…（1分）

S△ABC=
AB×BC=2
．…（1分）

所以S=2S△ABC+S侧=4
+（2+2
+4）×4=24+12
．…（3分）

（2）连接BC1，因为AC∥A1C1，所以∠BA1C1就是异面直线A1B与AC所成的角（或其补角）．…（1分）

在△A1BC1中，A1B=2
，BC1=2
，A1C1=4，…（1分）

由余弦定理可得cos∠BA1C1=



19. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14分别是等比数列{bn}的b2，b3，b4．

（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{cn}对任意自然数n均有
=an+1成立，求c1+c2+…+c2014的值．

解答：

解：（Ⅰ）∵a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，

∵a2，a5，a14成等比数列，

∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），

解得d=2，

∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1；

又b2=a2=3，b3=a5=9，

∴q=3，b1=1，

∴bn=3n﹣1．

（Ⅱ）∵
+
+…+
=an+1，

∴
=a2，即c1=b1a2=3，

又
+
+…+
=an（n≥2），

∴
=an+1﹣an=2（n≥2），

∴cn=2bn=2?3n﹣1（n≥2），

∴cn=
．

∴c1+c2+…+c2014=3+2?3+2?32+…+2?32013

=3+2（3+?32+…+32013）

=3+2?

=32014．



20. 如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=AF=1．

（1）求四棱锥F﹣ABCD的体积VF﹣ABCD．

（2）求证：平面AFC⊥平面CBF．

（3）在线段CF上是否存在一点M，使得OM∥平面ADF，并说明理由．

解答：

解：（1）∵AD=EF=AF=1∴∠OAF=60°

作FG⊥AB交AB于一点G，则

∵平面ABCD⊥平面ABEF

∴FG⊥面ABCD（3分）

所以

（2）∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，

平面ABCD∩平面ABEF=AB，

∴CB⊥平面ABEF，

∵AF?平面ABEF，

∴AF⊥CB，

又∵AB为圆O的直径，

∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．

∵AF?面AFC，∴平面AFC⊥平面CBF；

（3）取CF中点记作M，设DF的中点为N，连接AN，MN

则MN

，又AO

，则MN
AO，

所以MNAO为平行四边形，（10分）

∴OM∥AN，

又AN?平面DAF，OM?平面DAF，

∴OM∥平面DAF． （12分）



21.已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数
在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；

（Ⅲ）求证：
．

解答：

解：（Ⅰ）
（2分）

当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0， 1]，减区间为[1，+∞）；

当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；

当a=0时，f（x）不是单调函数（4分）

（Ⅱ）
得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3

∴
，

∴g'（x）=3x2+（m+4）x﹣2（6分）

∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2

∴

由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，

所以有：
，∴
（10分）

（Ⅲ）令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，

由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，

∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，

∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）

∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，

∴

∴