2014-2015学年第一学期深圳市宝安区高三调研测试卷数学（理科）2014.9

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知全集
,集合
等于（ ）.

A.
B.
C.
D.

2.已知为虚数单位，则
（ ）.

A.
B.
C. D.

3.如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都

是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，

那么这个几何体的全面积为（ ）.

A.
B.
C.
D.

4.某市共有400所学校.现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本，调查学生课外阅读的情况.把这400所学校编上1-400的号码，再从1-20中随机抽取一个号码.如果此时抽得的号码是6，则在编号为21到40的学校中，应抽取的学校的编号为（ ）.

A.
B.
C.
D. 以上都不是

5.设
为空间的两条不同的直线，
为空间的两个不同的平面，给出下列命题：

①若
则
；②若
则
；

③若
则
；④若
则
.

上述命题中，所有真命题的序号是（ ）.

A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④

6.已知函数
的最小正周期为，则该函数的图像（ ）.

A.关于点
对称B. 关于直线
对称C.关于点
对称D. 关于直线
对称

7.以双曲线
的离心率为首项，以函数
为零点为公比的等比数列的前项的和
（ ）.

A.
B.
C.
D.

8.已知函数
及其导数
，若存在
，使得

，则称
是
的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是（ ）.

A. ①③⑤ B. ①③④ C. ①②③④ D. ①②⑤

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9.函数
的定义域为________________.

10.已知向量
和向量
的夹角为
，

则向量
和向量
的数量积
________.

11. 已知
，则

的最小值是________.

12.的值由右边程序框图算出，则二项式
展

开式的常数项为________.

13.下列给出的四个命题中：

①若等差数列
的公差
则数列
是递增数列；

②“
“是”直线
与
相互垂直“的充分不必要条件；③已知
，则双曲线
与
的焦距相等；④在实数数列
中，

，则
的最大值为2.

其中为真命题的是__________.

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．(坐标系与参数方程选做题) 在极坐标中，圆
上的点

到直线
的距离的最小值是_________.

15.（几何证明选讲选做题）如右图，从圆O外一点P引圆O的

割线PAB和PCD，PCD过圆心O.已知PA=1，AB=2，PO=3，

则圆O的半径等于_____.

三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.（本小题满分12分）已知函数
的图像经过点
.

（1）求函数
的解析式及最大值；

（2）若
，求
的值.

17.（本小题满分12分）甲、乙两人玩游戏，先由甲任想一个数字记为，再由乙猜想甲刚才想的数字，把乙想的数字记为
，且
，记
.

(1)求
的分布列及期望；

（2）若
，则称“甲乙心有灵犀”，求“甲乙心有灵犀”的概率.

18.（本小题满分14分）四棱锥P－ABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示.

（1）写出四棱锥P－ABCD中四对线面垂直关系（不要求证明）；

（2）在四棱锥P－ABCD中，若E为PA的中点，求证：BE∥平面PCD；

（3）在四棱锥P－ABCD中，设面PAB与面PCD所成的角为
，求
的值.

19.（本小题满分14分）已知数列
分别是等差数列，等比数列，且

.

(1)求数列
的通项公式；

（2）设
为数列
的前项和，求
的前项和
；

（3）设
请效仿（2）的求和方法，求
.

20.（本小题满分14分）已知函数

(1)我们称使
成立的为函数的零点，证明：当
时，函数
只有一个零点；

（2）若函数
在区间
上是减函数，求实数的取值范围.

21.（本小题满分14分）已知
分别是椭圆
的左右焦点，
分别为其左右顶点.过
的直线
与椭圆相交于
两点.当直线
与轴垂直时，四边形
的面积等于2，且满足

(1)求此椭圆的方程；

（2）当直线
绕着焦点
旋转不与轴重合时，求
的取值范围.

2014-2015学年第一学期宝安区高三调研测试卷数学（理科答案） 2014.9

1， C 2， D 3， A ，4， B ，5， D ，6， A ，7， B ，8， A ，

9，
,10， 3 ,11， 4 ,12，

13， ②④ ,14， 1 ,15，
,

解：（Ⅰ）
，

∴
，
，……………………3分

∴
，

所以当
，即
时，
取最大值
. …6分

(Ⅱ)
，∴
，……………………8分

∵
， ∴
，

∴
， ………………………………………10分

∴


…12分

17.（本小题满分12分）

解：（I）
可能取的值为0，1，2，3，4，5 ………………1分

………………5分

的分布列为

0

1

2

3

4

5



P















 ………………6分

………………8分

（II）
………………12分

18.（本小题满分13分）

本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系等基础知识；考查空间

想象能力，推理论证能力和运算求解能力。满分13分。

解法一：

（Ⅰ）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，

AD⊥平面PAB，BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD………… 4分

注：多写的按前四对给分，每正确一对，给一分。

CD⊥平面PAC也符合要求。

（Ⅱ）依题意AB、AD、AP两两垂直，分别以直线AB、AD、AP为x、y、z轴，

建立空间直角坐标第，如图。 ……………………………… 5分

则
，
，
，
。

∵E是PA中点，∴点E的坐标为
，

，
，
。

设
是平面PCD的法向量。

由
，即

取
，得
为平面PCD的一个法向量。 ………… 6分

∵
，∴
， ………………… 8分

∴
∥平面PCD。又BE平面PCD，∴BE∥平面PCD。……… 9分

（Ⅲ）由（Ⅱ），平面PCD的一个法向量为
，…………… 10分

又∵AD⊥平面PAB，∴平面PAB的一个法向量为
… 12分

∴
。 ……………………… 14分

解法二：

（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）取PD的中点F，连接EF、CF。

∵E、F分别是PA、PD的中点，

∴EF∥AD，EF
AD，∴EF∥BC，且EFBC，

∴四边形BEFC是平行四边形，∴BE∥CF。……………… 6分

又∵CF平面PCD，BE平面PCD，

∴BE∥平面PCD。 ………………………………… 9分

（Ⅲ）依题意AB、AD、AP两两垂直，分别以直线AB、AD、AP为x、y、z轴，

建立空间直角坐标第，如图。 …………………………………………… 9分

则
，
，
。

∵E是PA中点，∴点E的坐标为
，

，
。

设
是平面PCD的法向量。

由
，即

取
，得
为平面PCD的一个法向量。 ………… 10分

又∵AD⊥平面PAB，∴平面PAB的一个法向量为
…… 12分

∴
。 ………………………………………… 14分

解法三：（Ⅰ）同解法一。

（Ⅱ）取AD的中点N，连接EN，BN，

∵E、N分别是PA、AD的中点，

∴EN∥平PD，又EN平面PCD，

∴EN∥平面PCD …………………………………………… 5分

在直角梯形ABCD中，BC∥AD且BC
ADDN，

∴四边形BCDN是平行四边形，BN∥CD。

又∵
平面PCD，∴BN∥平面PCD。 ………………… 6分

∵
，∴平面BEN∥平面PCD。……………………………… 7分

又BE平面BEN，∴BE∥平面PCD。 ………………………………9分

（Ⅲ）同解法二。

19.（本小题满分14分）

解：①设
的公差为
，
的公比为，则依题意

……2分

∴
，
……4分

②
，
……6分

∴

…………………9分

③
……11分

……14分

20.（本小题满分14分）

解：（1）当
时，
，其定义域为（0，+∞）

，令

解得

又

当
时，

当
时，
，函数
在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，

当
时，函数
取得最大值，即
，

所以函数
只有一个零点…………6分

（2）因为
，其定义域为（0，+∞）

所以

（1）当
时，

所以
在区间（0，+∞） 上为增函数，不合题意…………8分

（2）当
时，

即
，此时，
的单调减区间为
，依题意

得
…………10分

（3）当
时，

即
，此时
的单调减区间为
，依题意

得
…………12分

综上所述，实数的取值范围是
……14分

21.（本小题满分14分）解：⑴当直线
与x轴垂直时，由
，得
.

又
,所以
，即
，又
，

解得
. 因此该椭圆的方程为