2015届湘中名校11月联考数学试题

本卷共150分，时量：120分钟

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合
,则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2.下列命题是真命题的是（ )

A．
的充要条件 B．
的充分条件

C．
D．若
为真命题，则
为真

3.已知－9，a1，a2，a3，－1，成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1成等比数列，则
＝( )

A．±
B．±
C．－
D.

4.设曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
（ ）

A. 2 B.
C.
D.

5..若ax2+bx+c＞0的解集为（-∞，-2）∪（4，+∞），则对f（x）=ax2+bx+c，有（ ）A．f（5）＜f（2）＜f（-1） B．f（2）＜f（5）＜f（-1）C．f（-1）＜f（2）＜f（5） D．f（2）＜f（-1）＜f（5）

6.已知点
，
在第二象限，则的一个变化区间是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

7.已知函数
，将
图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得到的图象沿轴向左平移
个单位,这样得到的曲线与
的图象相同, 那么
的解析式为（ ）

A．
B．

C．
D．

8. 设Sn为等差数列{an}的前项和，
,那么当Sn取得最小正值时，n等于( )

A. 11 B. 17 C.19 D. 21

9.
的最小值为( )

A.
B.
C.
D.

10. 已知函数f(x)=
, g(x)=x2-4x-4,设b为实数，若存在实数a使f(a)+f (b)=0，则b的取值范围（ ）

A.[-1,5] B.(-1,5) C.
D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.
的值为___________

12.
=___________

13.在等比数列
中，已知前n项和
=
，则的值为___________

14. x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为__________

15. 已知各项均为正数的等比数列{an},若2a4+a3-2a2-a1=8，则2a8+a7的最小值为

___________

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分）

在
中，角
所对的边分别是
，已知
.

(1)若
的面积等于
，求
；

(2)若
，
，求
的面积.

17.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中
-A BC中，AB AC， AB=AC=2，
=4，点D是BC的中点．

（1）求异面直线
与
所成角的余弦值；

（2）求平面
与
所成二面角的正弦值．

18. （本小题满分12分）

已知{an}是单调递增的等差数列，首项a1=3，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式．（Ⅱ）令Cn=Sncos（anπ）（n∈N+），求{cn}的前n项和Tn．

19. （本小题满分13分）

在四边形ABCD中，|
|=12，|
|=5，|
|=10，|
|=|
|，
在
方向上的投影为8；（1）求∠BAD的正弦值；（2）求△BCD的面积．

20. （本小题满分13分）

已知函数
．

（Ⅰ）求
的解集；

（Ⅱ）设函数

，若
对任意的
都成立，求
的取值范围．

21. （本小题满分13分）

设函数f(x)＝x2－(a－2)x－alnx.

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)有两个零点，求满足条件的最小正整数a的值；

(3)若方程f(x)＝c有两个不相等的实数根x1、x2，求证：f′
>0.

湘中名校11月联考理数试题答案

CBDBD CDCBA

11.
12.
13. -5 14. 2或－1 15. 54

16.（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得

又
，得
3分

联立
解得
5分

（Ⅱ）由题意得，

即
，
又

9分

的面积
12分

17. （1）以
为单位正交基底建立空间直角坐标系
,

则
,
,
,
,
,
．

,

异面直线
与
所成角的余弦值为
． 6分

（2）
是平面
的的一个法向量，设平面
的法向量为
,

，
，

由
，
得
，取
,得
，
,

所以平面
的法向量为
．设平面
与
所成二面角为
．

, 得
．

所以平面
与
所成二面角的正弦值为
． 12分

18. 解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则a2b2=（3+d）q=12，①S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=9+3d+q=20，即3d+q=11，变形可得q=11-3d，②代入①可得：（3+d）（11-d）=33+2d-3d2=12，（3d+7）（d-3）=0，又由{an}是单调递增的等差数列，有d＞0．则d=3，q=11-3d=2，an=3+（n-1）×3=3n，bn=2n-1…（6分）（Ⅱ）?
…（8分）当n是偶数，Tn=c1+c2+c3+…+cn=-S1+S2-S3+S4-…-Sn-1+Sn=
…（10分）当n是奇数，
综上可得
…（12分）19. 解：（1）∵|
|=|
|，∴以
为邻边做平行四边形DAEC的对角线相等，即为矩形∴∠ADC=90°，--- ----（1分）在Rt△ADC中，
，
，∴
，
，
，--（3分）∵
在
方向上的投影为8，
，
∴
，---（5分）∵∠CAB∈（0，π），∴
∴sin∠BAD=sin（∠DAC+∠CAB）=sin∠DACcos∠CAB+sin∠CABcos∠DAC=
=
---（7分）（2）∵
=39， ?
=30，
sin∠BAD=
---（11分）?∴S△BCD=S△ABC+S△ACD-S△ABD=
---（13分）

20.（Ⅰ）

6分

∴
即

∴
① 或
② 或
③

解得不等式①：
；②：无解 ③：

所以
的解集为
或
． 9分

（Ⅱ）
即
的图象恒在
图象的上方

图象为恒过定点
，且斜率
变化的一条直线作函数
图象如图, 其中
，
，∴

由图可知，要使得
的图象恒在
图象的上方

∴实数
的取值范围为
. 13分

21. (1)解：f′(x)＝2x－(a－2)－
(x>0)．

当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)．

当a>0时，由f′(x)>0，得x>
；由f′(x)<0，得0

所以函数f(x)的单调增区间为
，单调减区间为
.…………….. 4分

(2)解：由(1)得，若函数f(x)有两个零点

则a>0，且f(x)的最小值f
<0，即－a2＋4a－4aln
<0.

因为a>0，所以a＋4ln
－4>0.令h(a)＝a＋4ln
－4，显然h(a)在(0，＋∞)上为增函数，

且h(2)＝－2<0，h(3)＝4ln
－1＝ln
－1>0，所以存在a0∈(2，3)，h(a0)＝0.

当a>a0时，h(a)>0；当0

(3)证明：因为x1、x2是方程f(x)＝c的两个不等实根，由(1)知a>0.

不妨设0

两式相减得
－(a－2)x1－alnx1－
＋(a－2)·x2＋alnx2＝0，

即
＋2x1－
－2x2＝ax1＋alnx1－ax2－alnx2＝a(x1＋lnx1－x2－lnx2)．

所以a＝
.因为f′
＝0，

当x∈
时，f′(x)<0， 当x∈
时，f′(x)>0，

故只要证
>
即可，即证明x1＋x2>
，

即证明
－
＋(x1＋x2)(lnx1－lnx2)<
＋2x1－
－2x2，

即证明ln
<
.设t＝
(0

令g(t)＝lnt－
，则g′(t)＝
.

因为t>0，所以g′(t)≥0，当且仅当t＝1时，g′(t)＝0，所以g(t)在(0，＋∞)上是增函数．

又g(1)＝0，所以当t∈(0，1)，g(t)<0总成立．所以原题得证……….13分