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株洲市2015届高三年级教学质量统一检测（一）

数学试题答案（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．

命题人：张耀华（株洲市二中） 向为民（九方中学） 颜伟（南方中学）

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1．设集合
，
，则
（ B ）

A．
B.
C.
D.

2．复数
（其中
为虚数单位）的虚部等于( B )

A．
B．
C．
D．

3．已知样本数据
的平均数是5，标准差是
，

则
（ A ）

A．
B．

C．
D．

4、阅读下面程序框图，则输出结果
的值为( D )

A．
B．

C．
D．0

5．已知非零向量
，
，则
=(　C　)

A．
　　 　 　B.
C.
　 　 D.

6．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ C ）

[来

A． B. C. D.

7．函数
的部分图象如图所示，若
，则
等于( A )

A．
B．
C．
D．

8. 给出下列两个命题：命题
：“
，
”是“函数
为偶函数”的必要不充分条件；命题
：函数
是奇函数，则下列命题是真命题的是（C ）

A．
B．
C．
D．

9．若双曲线
的左、右顶点分别为A、B，点P是第一象限内双曲线上的点。若直线PA、PB的倾斜角分别为α、β，且
，那么α的值是（ D ）

A．
B．
C．
D．

10．已知关于
的方程
在区间[k-1,k+1]上有两个不相等的实根，则实数
的取值范围是( A )

A.
B.
C.
D.

二.填空题（本大题共6小题，每小题5分，11，12,13为选做题，14,15,16为必做题，共25分．请将答案填在答题卷上）

（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如果全做，则按前2题给分）

11．如图,在△ABC中，AB＝AC，∠C＝720，⊙O过A、B两点且

与BC相切于点B，与AC交于点D，连结BD，若BC＝
,

则AC＝ 2 .

12．关于x的不等式
有解时，d的取值范围是
.

13．已知直角坐标系
中，直线l的参数方程：
（t为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则以极点为圆心与直线l相切的圆的极坐标方程为
。

（二）必做题（14至16题）

14. 已知实数x、y满足
，则目标函数
的最大值与最小值的和是 9 ．

15.
展开式的中间项系数为20，右图阴影部分是由曲线
和圆
及x轴围成的封闭图形， 则封闭图形的面积S=

16.已知函数
的图像不经过第四象限，则函数
的值域为

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17、（本题满分12分）

设
,
满足
.

（Ⅰ）求函数
的单调递增区间；

（Ⅱ）设
三内角
所对边分别为
且
，求
在

上的值域．

解：(1)

的单调减区间为
…………6分

（Ⅱ）

,由余弦定理可变形为
，

由正弦定理：

…………10分

由


…………12分

18．（本小题满分12分)

如图1，在Rt
中，
，
．
，将
沿
折起到
的位置，使
，如图2．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，求平面
与平面
所成二面角的大小．

解：（Ⅰ）证明： 在△
中，

.又
.

由

. …………5分

（Ⅱ）如图,以
为坐标原点，建立空间直角坐标系
．取A1C的中点F，连DF，

则

由（1）可知，
, 从而

为平面
的法向量，

又
，

设平面
的法向量为

由

平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为
…………12分

19.（本小题满分12分）

某公司举办一次募捐爱心演出，有1000人参加，每人一张门票，每张100元。在演出过程中穿插抽奖活动，第一轮抽奖从这1000张票根中随机抽取10张，其持有者获得价值1000元的奖品，并参加第二轮抽奖活动。第二轮抽奖由第一轮获奖者独立操作按钮，电脑随机产生两个实数
（
），若满足
，电脑显示“中奖”，则抽奖者再次获得特等奖奖金；否则电脑显示“谢谢”，则不中特等奖奖金。

（Ⅰ）已知小明在第一轮抽奖中被抽中，求小明在第二轮抽奖中获奖的概率；

（Ⅱ）设特等奖奖金为a元，求小李参加此次活动收益的期望，若该公司在此次活动中收益的期望值是至少获利70000元，求a的最大值。

解:（Ⅰ）设“小明在第二轮抽奖中获奖”为事件A，所有基本事件构成区域的面积为16，事件A所包含的基本事件的 区域的面积为5，∴P(A)=
． …………5分（Ⅱ）特等奖奖金为a元，设小李参加此次活动的收益为ξ，则ξ的可能取值为-100，900，a+900． P(ξ=-100)=
，P(ξ=900)=
，P(ξ=a+900)=
．∴ξ的分布列为

ξ

-100

900

a+900



P









∴
． …………10分

∴该集团公司收益的期望为
，

由题意
，解得a≤6400．

故特等奖奖金最高可设置成6400元． …………12分

（本小题满分13分）

已知数列
中，
，
，记
为
的前
项的和．

设
，证明：数列
是等比数列；

不等式：
对于一切
恒成立，求实数
的最大值.

解：（1）

所以
是以
，公比为
的等比数列. …………4分

(2)由
知,
,

当
时,

当
时,

即
…………6分

即得

所以
…………11分

因
(当
时等号成立)，

即所求的
最大值
. ………… 13分

21．（本小题满分13分）

如图，焦点在x轴的椭圆C：
（b > 0），点G（2，0），点P在椭圆上，且PG⊥x轴，连接OP交直线x = 4于点M，连接MG交椭圆于A、B.

（Ⅰ）若G为椭圆右焦点，求|OM|；

（Ⅱ）记直线PA，PB的斜率分别为
，
，求
的取值范围.

解：不妨设P在x轴上方，因为椭圆C的方程为
，令x=2，则
，

所以点P的坐标为
，

根据题意可得P为线段OM的中点，所以M的坐标为
.

（Ⅰ）若G为椭圆右焦点，则
，

所以
…………5分

（Ⅱ）因为直线AB过点M、G，所以AB的斜率为
，

则直线AB的方程为
① …………7分

代入椭圆方程
并整理得：
.…………8分

设
，
，则由韦达定理有

，
②

所以，
.

因为直线AB的方程为
，所以
，

所以
③ …………12分

因为
，
，所以
，

所以，
的取值范围是
…………13分

22．（本小题满分13分）

已知函数
.

(1)当
时，求
在
处的切线方程；

(2)设函数
，

（ⅰ）若函数
有且仅有一个零点时，求
的值；

（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若
，
，求
的取值范围．

解：（1）当
时，
定义域
，

，又

在
处的切线方程
…………4分

（2）（ⅰ）令

则

即

令
，

则

令

，

，
在
上是减函数

又

所以当
时，